1、加练课5 点、直线与椭圆的位置关系1.已知点P(a,1) 在椭圆x22+y23=1 的外部，则a 的取值范围为( )A.(-233,233) B.(233,+)(-,-233) C.(43,+) D.(-,-43)答案：B2.直线y=kx+1 与椭圆x24+y2=1 相交于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为1，则k= ( )A.-2B.-1C.-12 D.1答案：C3.直线y=kx-k 与椭圆x29+y24=1 的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.不确定答案：A4.经过椭圆x22+y2=1 的一个焦点作倾斜角为45 的直线l ，交椭圆于A ，B 两点.设O 为坐标原点，则OAOB
2、 等于( )A.-3B.-13 C.-3或-13 D.13答案：B5.若直线l:y-kx-1=0 与椭圆x27+y2m=1 恒有公共点，则m 的取值范围是( )A.（0，1）B.（0，7）C.1,7)(7,+) D.1,+ ）答案：C6.若点(m,n) 在椭圆9x2+y2=9 上，则nm-3 的最小值为( )A.-223 B.-233 C.-32 D.-324答案：D7.（2021浙江杭州外国语学校高二期中）已知以F1(-2,0) ，F2(2,0) 为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A.32 B.26 C.27 D.42答案：C8.（2021福建福州罗
3、源一中高二月考）过椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的右焦点F(2,0) 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为(97,-57) ，则C 的方程为( )A.x29+y25=1 B.x25+y2=1C.x26+y22=1 D.x210+y26=1答案：A9.设直线l:y=x+1 与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) 相交于A ，B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且AF=3FB ，则椭圆的离心率e= .答案：22解析：设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，将y=x+1 代入椭圆方程，消去x 并化简得(a2+b2)y2-2b2y+b2(1-a2)=0 ，所
4、以y1+y2=2b2a2+b2,y1y2=b2(1-a2)a2+b2 ，又AF=3FB ，所以y1=-3y2 ，所以-2y2=2b2a2+b2 ，-3y22=b2(1-a2)a2+b2 ，所以-3(-b2a2+b2)2=b2(1-a2)a2+b2 ，化简得a2(a2+b2)-(a2+4b2)=0 ，又直线l:y=x+1 过椭圆C 的左焦点F ，所以F(-1,0), 所以a2-b2=c2=1 ，所以b2=a2-1 ，代入a2(a2+b2)-(a2+4b2)=0 ，得a4-3a2+2=0 ，所以a2=2 或a2=1 （舍去），所以a=2 ，故椭圆的离心率e=ca=22 .素养提升练10.（多选题）
5、设椭圆的方程为x22+y24=1 ，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )A.直线AB 与OM 垂直B.若点M 的坐标为(1，1) ，则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1 ，则点M 的坐标为(13,43)D.若直线方程为y=x+2 ，则|AB|=423答案：B ; D解析：根据椭圆的中点弦的性质知kABkOM=-42=-2-1 ，即AB 与OM 不垂直，A中结论错误;因为kABkOM=-2 ，所以kAB=-2 ，所以直线方程为y-1=-2(x-1) ，即2x+y-3=0 ，B中结论正确;若直线方程为y=x
6、+1 ，点M(13,43) ，则kABkOM=14=4-2 ，C中结论错误;若直线方程为y=x+2 ，与椭圆方程x22+y24=1 联立，得3x2+4x=0 ，解得x1=0 ，x2=-43 ，所以|AB|=1+12|-43-0|=423 ，D中结论正确.故选BD.11.（2021宁夏银川长庆高级中学高二期中）过点M(1,1) 且斜率为-12 的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0) 相交于A、B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于( )A.22 B.33 C.12 D.13答案：A解析：设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则x1+x2=2 ，y1+y2=2 ，
7、kAB=y1-y2x1-x2=-12由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1, 作差得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0 ，所以2(x1-x2)a2+2(y1-y2)b2=0 ，即b2a2=-y1-y2x1-x2=12所以该椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=12=22 .12.（2021浙江浙北高二期中联考）已知直线l:y=kx+1(kR) ，若直线l 上总存在点M 与两点A(-1,0) ，B(1,0) 连线的斜率之积为-3m(m0) ，则实数m 的取值范围是 .答案：m13解析：设M(x,y) ，则kMAkMB=yx+1yx-1=y2x2
8、-1=-3m ，整理得x2+y23m=1 ，由题意知，直线l:y=kx+1 与曲线x2+y23m=1 总有公共点.易知直线y=kx+1 过定点P(0,1) ，当3m=1 时，曲线x2+y23m=1 表示圆x2+y2=1 ，也过定点P(0,1) ，满足题意；当3m1 时，曲线x2+y23m=1 表示椭圆，定点P(0,1) 在椭圆x2+y23m=1 的内部，满足题意，此时m13 ；当03m1 时，曲线x2+y23m=1 表示椭圆，定点P(0,1) 在椭圆x2+y23m=1 的外部，此时直线与椭圆无公共点，不符合题意.综上，m13 .13.已知椭圆C ：x22m2+y2m2=1(m2) ，直线l 过
9、点P(1,1) 交椭圆于A、B 两点，且P 为线段AB 的中点.（1）求直线l 的方程；（2）若|AB|=5|OP| ，求m 的值.答案： （1）12m2+1m2=32m22) ， 点P 在椭圆内，设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则x122m2+y12m2=1,x222m2+y22m2=1, 两式相减可得x12-x222m2+y12-y22m2=0 ，即(x1+x2)(x1-x2)2m2+(y1+y2)(y1-y2)m2=0 ， 点P(1,1) 是线段AB 的中点，x1+x2=2,y1+y2=2 ，由椭圆的对称性可知x1-x20 ，式两边同时除以x1-x2, 可得22m2+2m2y1
10、-y2x1-x2=0,设直线l 的斜率为k ，1+2k=0 ，解得k=-12 ， 直线l 的方程为y-1=-12(x-1) ，即x+2y-3=0 .（2）|OP|=12+12=2 ，由x22m2+y2m2=1, x+2y-3=0, 得6y2-12y+9-2m2=0 ，可得y1+y2=2 ，y1y2=9-2m26 ，|AB|=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2=5|OP|=10 ，即1+44-2(9-2m2)3=10 ，解得m=3 ，又m2,m=3 .创新拓展练14.（2021北京平谷高二期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率e=32 ，且过点B(0,1) .（1）求椭圆的
11、标准方程；（2）设椭圆的右顶点为A ，直线l 过点B ，且与椭圆交于另一点C （不同于A 点），若有BAAC ，求直线l 方程.答案：（1）由椭圆方程可知，椭圆的焦点在x 轴，因为离心率e=32 ，且过点B(0,1) ，所以b=1, ca=32, a2=b2+c2a=2,c=3 ，所以椭圆的标准方程为x24+y2=1 .（2）当直线l 的斜率不存在时，C(0,-1) ，又椭圆的右顶点为A(2,0) ，所以kAB=-12 ，kAC=12 ，又kABkAC-1 ，所以不满足BAAC ，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=kx+1 ，C(x0,y0)联立得y=kx+1, x2+
12、4y2=4(1+4k2)x2+8kx=0 ，因为B(0,1) ，所以C(-8k1+4k2,1-4k21+4k2) ，因为BAAC ，kAB=-12 ，所以kAC=2 ，即kAC=1-4k2-8k-2-8k2=2 ，整理得12k2+16k+5=0 ，解得k=-56 或k=-12 （C 与A 重合，舍去），所以直线l 的方程为y=-56x+1 .综上，直线l 的方程为y=-56x+1 .15.已知椭圆C ：x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率为63 ，且经过点(32,12) .（1）求椭圆C 的方程;（2）过点P(0,2) 的直线交椭圆C 于A、B 两点，求AOB （O 为原点）面积的最大值
13、.答案：（1）由e2=a2-b2a2=1-b2a2=23 得ba=33 ，由椭圆C 经过点(32,12) 得94a2+14b2=1 ，联立，解得b=1,a=3 ， 椭圆C 的方程是x23+y2=1 .（2）由题意可知直线AB一定存在斜率，设其方程为y=kx+2 ，联立得y=kx+2,x23+y2=1, 消去y 得(1+3k2)x2+12kx+9=0 ，则=144k2-36(1+3k2)0 ，得k21 ，设A(x1,y1)、B(x2,y2) ，则x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2 ，SAOB=|SPOB-SPOA|=122|x1-x2|=|x1-x2| ，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-12k1+3k2)2-361+3k2=36(k2-1)(1+3k2)2 ，设k2-1=t(t0) ，则(x1-x2)2=36t(3t+4)2=369t+16t+243629t16t+24=34 ，当且仅当9t=16t ，即t=43 时等号成立，此时k2=731 ，满足条件，此时AOB 面积取得最大值32 .6