1、模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设命题p：nN，n22n，则綈p为()AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n【解析】依据含有一个量词的命题的否定判定即可因为“xM，p(x)”的否定是“xM，綈p(x)”，所以命题“nN，n22n”的否定是“nN，n22n”故选C.【答案】C2设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为yx，则该双曲线的离心率e的值为()A5B CD【解析】由焦点在x轴上的渐近线方程为yx，可得，所以e.【答案】C3设，是两个不同的平面，m
2、是直线且m，“m ”是“ ”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】结合平面与平面平行的判定与性质进行判断当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而m ；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m ”是“ ”的必要而不充分条件【答案】B4已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为()A.BC.D【解析】ba(1t,2t1,0)，|ba|，当t时，|ba|min.【答案】C5已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C.D【解析】|AF|BF|x
3、AxB3，xAxB.线段AB的中点到y轴的距离为.【答案】C6下列四个条件中，使ab成立的充分不必要条件是() 【导学号：32550103】Aab1Bab1Ca2b2Da3b3【解析】要求ab成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出ab，而由ab不能推出选项在选项A中，ab1能使ab成立，而ab时，ab1不一定成立，故正确；在选项B中，ab1时，ab不一定成立，故B错误；在选项C中，a2b2时，ab也不一定成立，因为a，b不一定同为正数，故C错误；在选项D中，“a3b3”是“ab”成立的充要条件，故D错误【答案】A7与两圆x2y21和x2y28x120都外切的圆的圆心在()A一个椭圆上B双曲
4、线的一支上C一条抛物线上D一个圆上【解析】将x2y28x120配方，得(x4)2y24，设所求圆心为P，设两圆的圆心分别为O1，O2，则由题意知|PO2|PO1|Rr|1，根据双曲线的定义可知其轨迹是双曲线的一支【答案】B8点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是()A(0,0，2)B(0,0，3)C(0,0，)D(0,0，1)【解析】设M(0,0，z)，直线的一个单位方向向量s0，故点M到直线l的距离d，解得z3.【答案】B9如图1，已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线xmym0与抛物线交于A、B两点，且OAB(O为坐标原点)的面积为
5、2，则m6m4的值是()图1A1BC2D4【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，m，将xmym代入抛物线方程y22px(p0)中，整理得y22pmy2pm0，由根与系数的关系，得y1y22pm，y1y22pm，(y1y2)2(y1y2)24y1y2(2pm)28pm16m416m2，又OAB的面积S|y1y2|(m)42，两边平方即可得m6m42.【答案】C10在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角正弦值为()A.BC.D【解析】以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为x轴
6、、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，由ABAC1，PA2，得A(0，0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F，(0,0,2)，设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则由得取z1，则n(2,0,1)，设PA与平面DEF所成角为，则sin ，PA与平面DEF所成角的正弦值为，故选C.【答案】C11设O为坐标原点，F1、F2是1(a0，b0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足F1PF260，|OP|a，则该双曲线的渐近线方程为()Axy0Bxy0Cxy0Dxy0【解析】如图所示，O是F1F2的中点，2，()2(2)2.即|2|22|cos 604|2.又|PO
7、|a，|2|2|28a2.又由双曲线定义得|PF1|PF2|2a，(|PF1|PF2|)24a2.即|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.由得|PF1|PF2|8a2，|PF1|2|PF2|220a2.在F1PF2中，由余弦定理得cos 60，8a220a24c2.即c23a2.又c2a2b2，b22a2.即2，.双曲线的渐近线方程为xy0.【答案】D12正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为()A.BC.D【解析】取BC中点O，连结AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC1，则A，B，D.，.由于为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n(
8、1，1)，cosn，sinn，.【答案】C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13命题“若ABB，则AB”的逆否命题是_【解析】根据逆否命题的定义知“若p则q”与“綈q则綈p”互为逆否命题【答案】若AB，则ABB14已知a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)，若(ab)c，则x_.【解析】ab(2,1，x3)，(ab)c，(ab)c0，即211(x)(x3)20.解得x4.【答案】415如图2，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG2GN，则用向量，表示向量为_图2【解析】.
9、【答案】16已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_【导学号：32550104】【解析】根据双曲线的定义等价转化|PF|，分析何时APF的周长最小，然后用间接法计算SAPF.由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F1(3，0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF的周长最小，由图像可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直
10、线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.【答案】12三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知p：x28x200，q：x22x1a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围【解】解不等式x28x200得p：Ax|x10或x2解不等式x22x1a20得q：Bx|x1a或x1a，a0依题意，pq但qp，说明AB.于是，有或解得0a3.正实数a的取值范围是0a3.18(本小题满分12分)已知p：2m0,0n1；q：关于x的方程x2mxn0有两个小于1的正
11、根试分析p是q的什么条件【解】若关于x的方程x2mxn0有两个小于1的正根，设为x1，x2，则0x11,0x21，有0x1x22且0x1x21.根据根与系数的关系得即2m0,0n1，故有qp.反之，取m，n，x2x0，40，方程x2mxn0无实根，所以pq.综上所述，p是q的必要不充分条件19(本小题满分12分)在如图3所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，ACBCBD2AE，M是AB的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：图3(1)求证：CMEM；(2)求CM与平面CDE所成角的大小【解】(1)证明：分别以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C且与平面ABC垂直的直
12、线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设AEa，则M(a，a，0)，E(0，2a，a)，所以(a，a,0)，(a，a，a)，所以aa(a)a0(a)0，所以CMEM.(2)(0，2a，a)，CD(2a,0,2a)，设平面CDE的法向量n(x，y，z)，则有即令y1，则n(2,1,2)，cos，n，所以直线CM与平面CDE所成的角为45.20(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图4，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、图4M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)观测点A(4,
13、0)、B(6,0)同时跟踪航天器(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】(1)设所求曲线方程为yax2，由题意可知，0a64，解得a.所以曲线方程为yx2.(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知得4y27y360，解得y4或y(不合题意，舍去)所以x6或x6(不合题意，舍去)所以C(6,4)，|AC|2，|BC|4.故当观测点A，B测得AC，BC距离分别为2，4时应向航天器发出变轨指令21(本小题满分12分)如图5所示，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC30，AF
14、PC于点F，FECD，交PD于点E.图5(1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值【解析】(1)由题意可知DADC，DADP，DCDP，则以D为原点，DP所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DA所在直线为z轴建立空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为a，则C(0，a,0)，且A(0,0，a)，由平面几何知识可求得F，所以，(0,0，a)，所以0，(0,0，a)0，故CFDF，CFDA；又DFDAD，所以CF平面ADF.(2)易得E，则，又，设平面AEF的一个法向量为n(x，y，z)，则n(x，y，z)axaz0，n(x，y，z)axayaz0，取x1，得n.由(1)知平面ADF
15、的一个法向量为，故cosn，由题图可知二面角DAFE为锐二面角，所以其余弦值为.22(本小题满分12分)已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.图6(1)求椭圆E的离心率；(2)如图6，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程【导学号：32550105】【解】(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴
16、不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.法二：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，得点A，B关于圆心M(2,1)对称，且|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2，x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直线AB的方程为y(x2)1，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.