1、20212022学年北京市新高三入学定位考试数学2021.8本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.在复平面内，复数满足，则（ ）A.B.C.1D.3.函数的定义域为，则“，”是“函数为偶函数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为.若，则（ ）A
2、.1B.2C.3D.45.已知函数，则下列可以使得恒成立的的值是（ ）A.B.C.D.6.已知，则这三个数的大小关系为（ ）A.B.C.D.7.二项式的化简结果为（ ）A.B.C.D.8.把函数的图象向左平移个单位长度，所得函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.9.直线与抛物线：交于，两点，若，则，两点到抛物线的准线的距离之和为（ ）A.1B.2C.3D.410.已知数列是单调递增数列，且.若，则（ ）A.9B.10C.11D.12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知双曲线：，若，则双曲线的离心率是 .12.函数的零点个数为 .1
3、3.已知单位向量，满足.则，的夹角大小为 ；若，写出一个满足题意的向量的坐标 .14.已知圆：.若直线上存在一点，使得经过点与圆相切的两条切线互相垂直，则的最小值为 .15.记正方体的八个顶点组成的集合为.若集合，满足，使得直线，则称是的“保垂直”子集.给出下列三个结论：集合是的“保垂直”子集；集合的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；若是的“保垂直”子集，且中含有5个元素，则中一定有4个点共面.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）如图，在长方体中，点在线段上，且.（）求证：平面；（）求证：；（）求二面角的
4、余弦值.17.（本小题13分）在中，.（）若，求的值；（）在下面三个条件中选择一个作为已知，求的面积.条件；条件；条件.注：如果选择条件，条件和条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题14分）某公司生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为提高净化器的质量，现从甲种型号的净化器中随机抽取了400件产品，从乙种型号的净化器中随机抽取了100件产品，并对抽出的样本进行产品性能质量评估.该公司将甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器评估综合得分按照，分组，绘制成评估综合得分频率分布直方图如图：甲种型号产品评估综合得分频率分布直方图 乙种型号产品评估综合得分频率分布直方图（）从公司生产的乙种型号净化
5、器中随机抽取一件，估计这件产品的评估综合得分不低于80分的概率；（）从两种型号的样本净化器中各随机抽取一件，以表示这两件中综合得分不低于80的件数，求的分布列和数学期望；（）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计400件甲种型号的净化器评估综合得分的平均值为，估计100件乙种型号的净化器评估综合得分的平均值为，同时估计上述抽取的500件净化器评估综合得分的平均值为，试比较和的大小.小强数学（结论不要求证明）19.（本小题15分）已知函数，其中.（）求曲线在点处的切线方程；（）若存在实数，使得不等式的解集为，求的取值范围.20.（本小题15分）已知椭圆：，直线经过椭
6、圆的左焦点与其交于点，.（）求椭圆的方程和离心率；（）已知点，直线，与直线分别交于点，.若，求直线的方程.21.（本小题15分）给定正整数，对于一个由个非负整数构成的数列：，如果存在非负整数，使得，且，则称数列为“数列”.（）判断数列：1，2，3，4和：1，3，4，2是否为“数列”；（）若数列：为“数列”，求证：为定值；（）求所有正整数，使得存在1，2，的一个排列：，且为“数列”.20212022学年北京市新高三入学定位考试数学参考答案及解析2021.8本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择
7、题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.B 解析：画数轴，注意求的是交集，选B.2.A 解析：，选A.3.B 解析：后推前，明显成立，前推后，举反例符合条件，但不是偶函数，选B.4.D 解析：，即，所以，选D.5.C 解析：正余弦函数，使恒成立的可以为，此题，当时，选C.6.D 解析：，故，选D.7.D 解析：，选D.8.B 解析：数形结合，当时，单调递增，且函数的对称轴为，故左移1个大于1个单位即符合题意，选B.9.C 解析：由题，与抛物线交于，两点，即抛物线方程为，故距离之和为，选C.10.B 解析：由于此题答案唯一，
8、故可代符合题意的数列即可.因为数列递增，且，故可令，则，即，故，选B.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.2 解析：，故，所以.12.1 解析：数形结合，画出，看两个函数的交点个数，有1个交点，故零点个数为1.13.或解析：向量相乘得0，两向量垂直，故，夹角为；单位圆中，故或.14.2 解析：找临界.取，此时两条切线垂直，此时.15.解析：首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合是的“保垂直”子集.注意，正方体的两条体对角线不垂直哦.对于，当取体对角线时，找不到与之垂直的直线，错误；对于，当8个点任取6个点时，一定满足题意，且此时必有4点共面，
9、正确；对于，举反例即可，如，错误.填.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.解：（）在正方体中，因为，且平面，平面所以平面.（）在正方体中因为底面所以.又，且所以平面所以（）因为正方体所以，两两垂直以为坐标原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，则，因为正方体所以平面法向量为，由（）知，平面法向量为所以由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为.17.解：（）在中，因为，且，所以.所以，.（）选条件：.因为，由正弦定理，得.又，所以，所以，因为，所以，或者.因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.选条件：在中，因为，由正弦定理，得，又，所以，所以因为，所
10、以，所以因为，且，所以所以，所以，所以，所以.选条件在中，因为，由正弦定理，因为，所以，所以，所以因为，所以，所以所以，所以，所以，所以.18.解：（）由频率分布直方图可知，100件乙种型号的净化器评估综合得分不低于80分的频率为，所以从公司生产的乙种型号净化器中随机抽取一件，这件产品的评估综合得分不低于80分的概率大约为0.1.（）的所有可能值为0，1，2.所以，.所以的分布列为0120.720.260.02故的数学期望.（）.（，）19.解：由得.（）所以.又因为.故所求的切线方程为.（）因为令，得，此时，随的变化如下：00极大值极小值由题意，要想存在实数，使得不等式的解集为只需或因为，所以所以的取值范围为.20.解：（）由题设，得.又，所以.所以椭圆的方程为.所以椭圆的离心率为.（）依题意，设，.当直线无斜率时，方程为，所以由平面几何知识可以得到，不合题意.当直线有斜率时，设由得.则，.直线的方程为.令，得点的纵坐标.同理可得点的纵坐标.解得或所求直线的方程为或.21.解：（）不是“数列”，是“数列”.（）因为当为偶数时，当为奇数时，所以为定值0（）若1，2，3，的一个排列：为“数列”，则，即，所以为偶数.又或时，为奇数，所以或.若时，取排列：，此时对应的满足题意，所以符合题意；若时，取排列：此时对应的满足题意，所以符合题意.综上所述：或.
