1、函数的奇偶性基础过关练题组一函数奇偶性的概念及图象特征1.对于定义域是R的任意奇函数f(x),下列结论正确的是()A.f(x)-f(-x)0B.f(x)-f(-x)0C.f(x)f(-x)0D.f(x)f(-x)02.(多选)下列说法中正确的有()A.图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B.奇函数的图象一定经过原点C.若偶函数的图象不经过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数D.图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数3.若y=f(x)(xR)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是()A.(a,-f(a)B.(-a,-f(a)C.(-a,-f(-a)D.(a,f(-a)4.(
2、2021江苏南通如东高一上期中)函数f(x)=-4x2+12x4的大致图象是()题组二函数奇偶性的判断5.已知f(x)=x4,则f(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数6.(2021江苏苏州外国语学校高一月考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x2B.y=x5+1C.y=1xD.y=x37.若函数f(x)=1,x0,-1,x0,则f(x)()A.是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数8.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xx-1;(2)f(x)=x2-1+1-x2;(3)f(x)=2x2+2xx
3、+1;(4)f(x)=x(1-x),x0.题组三函数奇偶性的应用9.(2021江苏常州第二中学高一月考)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=2x-3,则当x0时,f(x)=()A.-2x-3B.2x+3C.-2x+3D.2x-310.(2021江苏南通海门中学高一月考)若函数f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,则a=()A.12B.23C.34D.111.函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=4x+m,则f-12=()A.1B.-2C.-1D.-3212.(2021山东寿光一中高一月考)设偶函数f(x)的定义域为-5,5,当x0,5时,f(x)的图象如图所示,则不
4、等式f(x)0的解集是()A.(2,5)B.(-5,-2)(2,5)C.(-2,0)(2,5)D.(-5,0)(2,5)13.(2020江苏南通西亭高级中学高一月考)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间0,+)上是增函数,若f(1-a)f(2),则实数a的取值范围是()A.-1a3B.a3C.-3a1D.a1能力提升练题组一函数奇偶性的概念及图象特征1.(多选)()若f(x)为R上的奇函数,则下列四个说法正确的是()A.f(x)+f(-x)=0B.f(x)-f(-x)=2f(x)C.f(x)f(-x)0;f(x)+f(y)=fx+y1+xy,x,y(-1,1).下列说法正确的是()A.f
5、(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)在定义域上是减函数D.f(x)在定义域上是增函数题组三函数奇偶性的综合应用6.(2020山西大学附属中学校高一月考,)若函数f(x)=x3+2x2+3x,x0,x3+ax2+bx,x0的解集为()A.x|-2x5或x-1C.x|0x4或x0恒成立,设a=f-12,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()A.bacB.cbaC.bcaD.abc10.(多选)(2021江苏苏州外国语学校高一上检测,)已知函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且对y=f(x),xR,当x1,x2(-,0时,f(x2)-f(x1)x2-x10成立,
6、若f(2ax)f(2x2+1)对任意的xR恒成立,则a的可能取值为()A.-2B.-1C.1D.211.(多选)(2020江苏如皋第一中学高一期中,)函数f(x)对任意x,yR,总有f(x+y)=f(x)+f(y),当x0时,f(x)0,f(1)=13,则下列命题正确的是()A.f(x)是R上的减函数B.f(x)在-6,6上的最小值为-2C.f(x)是奇函数D.若f(x)+f(x-3)-1,则实数x的取值范围为0,+)12.(2020江苏海安高级中学高一期中,)设函数f(x)=-1,-2x0,x-1,00,g(x)=f(x)x,x(0,a为减函数,求实数a的取值范围.14.()设函数f(x)=
7、x2-2|x-a|+3,xR,aR.(1)王鹏同学认为,无论a取何值,f(x)都不可能是奇函数,你同意他的观点吗?请说明你的理由;(2)若f(x)是偶函数,求a的值;(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.15.(2020江苏扬州中学高一上期中,)已知函数f(x)=x2+2|x-a|-4(其中a为实数).(1)若a=2,结合图象写出函数f(x)的单调递增区间;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)若对任意实数x,不等式f(x)-1恒成立,求实数a的取值范围.答案全解全析5.4函数的奇偶性基础过关练1.C显然A,B不正确.对任意奇函数f(x),有f(-x)
8、=-f(x),则f(x)f(-x)=-f(x)20,故C正确,D不正确.2.ACD由奇、偶函数的图象特征易知A,C,D正确.故选ACD.3.By=f(x)为奇函数,f(-a)=-f(a),点(-a,-f(a)一定在函数y=f(x)的图象上.4.D函数f(x)的定义域为x|x0,关于原点对称,且f(-x)=f(x),所以f(x)=-4x2+12x4是偶函数,故排除A,B,C,故选D.5.B函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以f(x)为偶函数.故选B.6.Dy=x2是偶函数,故A错误;y=x5+1既不是奇函数又不是偶函数,故B错误;y=1x在(-,0
9、),(0,+)上是减函数,故C错误;y=x3既是奇函数又是增函数,故D正确.故选D.7.B 作出函数f(x)的图象,如图所示,可以看出该图象关于原点对称,故f(x)为奇函数.8.解析(1)f(x)=xx-1的定义域为(-,1)(1,+),不关于原点对称,f(x)=xx-1既不是奇函数又不是偶函数.(2)依题意得x2-10且1-x20,则x2-1=0,解得x=1.函数f(x)的定义域为-1,1,关于原点对称,且f(x)=0,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(-,-1)(-1,+),不关于原点对称,f(x)既不是奇函数又不是偶
10、函数.(4)易知函数f(x)的定义域D=(-,0)(0,+),关于原点对称.任取xD,当x0时,-x0,f(-x)=(-x)1-(-x)=-x(1+x)=-f(x);当x0,f(-x)=-x(1-x)=-f(x).函数f(x)为奇函数.9.A当x0,所以f(-x)=-2x-3,又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(x)=-2x-3(x0).故选A.10.A函数f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),-x(-2x+1)(-x-a)=-x(2x+1)(x-a),(-2x+1)(-x-a)=(2x+1)(x-a),(2a-1)x=0,a=12.故选A.11.C由函数f(x)为定义在
11、R上的奇函数,得f(0)=0,即40+m=0,解得m=-1,所以f(x)=4x-1(x0).所以f12=412-1=1.所以f-12=-f12=-1.故选C.12.B由题图知,当x0,5时,不等式f(x)0的解集是(2,5),又f(x)为偶函数,所以当x-5,0)时,不等式f(x)0的解集是(-5,-2),所以f(x)0的解集是(-5,-2)(2,5).故选B.13.A因为f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且f(1-a)f(2),所以f(|1-a|)f(2).因为函数f(x)在区间0,+)上是增函数,所以|1-a|2,解得-1a1时,f(x)0,当0x0,故排除D.故选A.3.B由已知得g(
12、x)1,所以在F(x)中,x0.F(-x)=2f(-x)g(-x)-1+f(-x)=-2g(x)f(x)1-g(x)-f(x)=2f(x)+2f(x)g(x)-1g(x)-1-f(x)=2f(x)g(x)-1+f(x)=F(x),且定义域关于原点对称,所以F(x)是偶函数.4.D在选项A中,f(x)=x3-1x的定义域为x|x0,关于原点对称, 且f(-x)=-x3+1x=-f(x),所以f(x)是奇函数;在选项B中,f(x)=1-x2|x-2|-2=1-x2-x(-1x1,x0),且f(-x)=1-x2x=-f(x),所以f(x)是奇函数;在选项C中,f(x)=(x-1)1+x1-x的定义域
13、为x|-1x1,不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数;在选项D中,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(xR),且f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|=f(x),所以f(x)是偶函数,故选D.5.AC令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,又因为x(-1,1),关于原点对称,所以f(x)为奇函数,故A正确,B错误;任取x1,x2(-1,1),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=fx1-x21-x1x2,因为-1x1x20,所以x1-x20,0x
14、1x20,1-x20,所以1-x1x20,所以x1-x21-x1x20,所以x1-x21-x1x2-1,所以-1x1-x21-x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(-1,0)上单调递减,因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,故C正确,D错误.故选AC.6.Bf(x)为奇函数,f(-x)=-f(x).当x0,则(-x)3+2(-x)2+3(-x)=-x3-ax2-bx,即-x3+2x2-3x=-x3-ax2-bx,a=-2,b=3.故选B.7.Bf(x)=(x-3)(ax-b)=ax2-(3a+b)x+3b为偶函数,f(-x)=a
15、x2+(3a+b)x+3b=ax2-(3a+b)x+3b,3a+b=0,即b=-3a,f(x)=(x-3)(ax+3a)=a(x-3)(x+3)=ax2-9a,f(x)在(0,+)上单调递增,a0,f(2-x)=a(-x-1)(5-x)0,(x+1)(x-5)0,解得x5,不等式的解集为x|x5.故选B.8.BC由题意可分两种情况讨论:当a0时,f(a)f(-a)=f(-a)2=(-a-1)2=4,解得a=1或a=-3(舍去);当a0恒成立,所以函数f(x)在区间(1,+)上单调递增.由于函数f(x+1)是偶函数,所以函数f(x+1)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称
16、,所以a=f-12=f52.因为2523,函数f(x)在区间(1,+)上单调递增,所以f(2)f52f(3),即bac,故选A.10.BC因为函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称,所以函数f(x)是偶函数.又当x1,x2(-,0时,f(x2)-f(x1)x2-x10成立,所以函数f(x)在(-,0上是减函数,所以函数f(x)在0,+)上是增函数.因为f(2ax)f(2x2+1)对任意的xR恒成立,所以|2ax|2x2+1|对任意的xR恒成立.当x=0时,不等式化为01,恒成立;当x0时,不等式化为|a|2x2+1|2x|=x+12
17、x,又|2x2+1|2x|=|x|+12x2|x|12x=2,当且仅当|x|=1|2x|,即|x|=22时,等号成立,所以|a|2,因此-2a2.故选BC.11.BCD令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数,C正确;任取x1,x2R,且x1x2,则x1-x20,因为当x0时,f(x)0,所以f(x1-x2)0,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)0,即f(x1)0,且x(0,a,所以g(x)=f(x)x
18、=x2+|x-a|x=x2+a-xx=x+ax-1.在(0,a上任取x1,x2且满足0x1x2a,则g(x1)-g(x2)=x1+ax1-x2-ax2=x1-x2+a(x2-x1)x1x2=(x1-x2)(x1x2-a)x1x2.因为0x1x2a,所以x1-x20,0x1x2a2,又g(x)在区间(0,a上为减函数,所以x1x2-ax1x2,所以aa2,又a0,所以0a1.14.解析(1)我同意王鹏同学的观点.理由如下:假设f(x)是奇函数,则由f(a)=a2+3,f(-a)=a2-4|a|+3,可得f(a)+f(-a)=0,即a2-2|a|+3=0,显然a2-2|a|+3=0无实数解,故f(
19、x)不可能是奇函数.(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数.(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+).15.解析(1)当a=2时,函数f(x)=x2+2|x-2|-4=x2+2x-8,x2,x2-2x,x2.画出函数的图象,如图所示,结合图象可得函数的单调递增区间为(1,+).(2)当a=0时,f(x)为偶函数,当a0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.理由如下:当a=0时,函数f(x)=x2+2|x|-4,f(-x
20、)=(-x)2+2|-x|-4=x2+2|x|-4=f(x),又因为xR,定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数;当a0时,可得f(2)=2|2-a|,f(-2)=2|a+2|,因为f(2)f(-2),f(2)-f(-2),所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(3)对任意实数x,不等式f(x)-1恒成立,只需使得f(x)min-1成立,设g(x)=(x+1)2-2a-5,xa,h(x)=(x-1)2+2a-5,xa.对于g(x)=(x+1)2-2a-5,xa,当a-1时,g(x)min=g(-1)=-2a-5;当a-1时,g(x)min=g(a)=a2-4.对于h(x)=(x-1)2+2a-5,xa,当ah(a)=a2-4;当a1时,h(x)min=h(1)=2a-5.当a-1时,a2-4-(-2a-5)=a2+2a+1=(a+1)20,则f(x)min=g(x)min=g(-1)=-2a-5,由-2a-5-1,解得a-2,满足题意;当-1a1时,f(x)min=a2-4,由a2-4-1,解得a3,不符合题意;当a1时,a2-4-(2a-5)=a2-2a+1=(a-1)20,则f(x)min=h(x)min=h(1)=2a-5,由2a-5-1,解得a2,满足题意.综上,实数a的取值范围是a-2或a2.