1、13.3.2 空间图形的体积基础认知自主学习【概念认知】1柱体、锥体、台体的体积几何体 体积柱体V柱体=_(S为底面面积,h为高)V圆柱=_(r为底面半径)锥体V锥体=_(S为底面面积,h为高)V圆锥=_(r为底面半径)Shr2h1Sh32r h3几何体 体积台体V台体=_(S,S分别为上、下底面面积,h为高),V圆台=_(r,r分别为上、下底面半径)1 h(SSSS)3221 h(rrr r)3 2.球的体积和表面积若球的半径为R，则(1)球的体积V_(2)球的表面积S_34 R3 4R21两个半径为 1 的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为()A2 B 2C3 2D123 4【解析】选
2、 C.设熔化后的球的半径为 R，则其体积是原来小球的体积的 2 倍，即 V43 R3243 13，得 R3 2 2(教材练习改编)已知圆锥 SO 的高为 4，体积为 4，则底面半径 r_【解析】由已知得 413 r24，解得 r 3.答案：33如图在所有棱长均为 2 的正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，三棱锥 B-A1C1C 的体积是_【解析】因为三棱锥 B-A1C1C 与三棱锥 B-A1AC 等底同高，故 VB-A1C1CVB-A1AC，又 VB-A1ACVA1-ABC，所以 VB-A1C1CVA1-ABC，而三棱锥 A1-ABC 的底面就是正三棱柱的底面，它的高就是正三棱柱的高，S AB
3、C3422 3，hAA12.所以 VA1-ABC13 3 22 33，即 VB-A1C1C2 33.答案：2 334已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是323，求此三棱柱的体积【解析】由43 R3323，得 R2，所以正三棱柱的高 h4.设其底面边长为 a，则13 32a2，所以 a4 3，所以 V 34(4 3)2448 3.学情诊断课时测评一、单选题1已知高为 3 的三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形(如图)，则三棱锥B1-ABC 的体积为()A14 B12 C 36 D 34【解析】选 D.V13 Sh13 343 34.2正方体
4、的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A3 B43 C32 D1【解析】选 B.如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等四棱锥的底面为正方形，且边长为 2，故底面积为(2)22；四棱锥的高为 1，故四棱锥的体积为13 2123.则几何体的体积为 223 43.3若圆锥的侧面展开图为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的体积是()A 23 B 33 C23 D43【解析】选 B.设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，如图所示：由题意知：2r12 22，解得 r1.所以 h2212 3.故圆锥的体积 V13 12 3 33.4(2021绵阳高一检测)已知四面
5、体 ABCD，AD2，BCD 为边长为 3 的等边三角形，若顶点 A 在平面 BCD 的投影是 BCD 垂心，则四面体 ABCD 的体积为()A43 B34 C23 D32【解析】选 B.由题意知，BCD 为边长为 3 的等边三角形，因为顶点 A 在平面 BCD 的投影 H 是 BCD 垂心，所以 H 也为 BCD 中心，所以 DE 32 3 32，所以 DH32 23 1，在直角 ADH 中，可得 AHAD2DH2 2212 3，所以三棱锥的体积为 V13 SAH13 34(3)2 3 34.二、多选题5已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形
6、，如图所示，则正确的是()【解析】选 ABC.正三棱锥内接于球，故其各个顶点均在球面上，若过球心的截面恰好截得三棱锥的面为三角形，则根据其顶点是否在截面上，有如下讨论：当用过球心且平行于三棱锥某底面的平面去截球时，三个点都不在截面上，则截面近似 A；当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时，它交对棱于中点，中点不在球上，也就不在截面上，则截面近似 B；当截面是过三棱锥一顶点和球心的平面时，截得的面除了 B 的情况外，大都是 C的情况，即另两点不在球(截面)上；当三棱锥的三个顶点都在截面上时，截面不过球心，与题意矛盾综上可知，只有D 是错误的6正三棱锥S-ABC的外接球半径为2，底面边长AB3，则
7、此棱锥的体积可能是()A3 34 B9 34 C27 34 D3 3【解析】选 AB.设正三棱锥的高为 h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，设 H 为正三棱锥底面的中心因为底面边长 AB3，所以 AH23 AD2332322 3，当顶点 S 与球心在底面 ABC 的同侧时，如图，有 AH2OH2OA2，即(3)2(h2)222，解得 h3 或 h1(舍去)，所以三棱锥的体积为13 12 33 3239 34.当顶点 S 与球心在底面 ABC 的异侧时，如图，有 AH2OH2OA2，即(3)2(2h)222，解得 h1 或 h3(舍去)，所以三棱锥的体积为13 12 33 3213 34，综上三
8、棱锥的体积为9 34或3 34.三、填空题7一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为_【解析】设长方体的棱长分别为 a，b，c，则ab 2，ac 3，bc 6，三式相乘可知(abc)26，所以长方体的体积 Vabc 6.答案：68半径为 2 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，如图所示，设圆锥底面半径为 r，高为 h，则2r2，h2r24.所以r1，h 3所以它的体积为13 12 3 33.答案：33四、解答题9如图，三棱台 ABC-A1B1C1 中，ABA1B112，求三棱锥 A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥 C-A1
9、B1C1 的体积之比【解析】设棱台的高为 h，S ABCS，则 S A1B1C14S.所以 VA1-ABC13 S ABCh13 Sh，VC-A1B1C113 S A1B1C1h43 Sh.又 V 台13 h(S4S2S)73 Sh，所以 VB-A1B1CV 台VA1-ABCVC-A1B1C173 ShSh3 4Sh323 Sh，所以体积比为 124.10在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 3 2 的正方形，且各侧棱长均为2 3.求该四棱锥外接球的表面积【解析】取正方形 ABCD 的中心 O1，连接 SO1 并延长交球面于点 E.连接 CO1，CE，如图则球心 O 在 SE
10、上，即 SE 为球的直径，且 SCEC.因为 AB3 2，所以 O1C3.在 Rt SO1C 中，SC2 3，所以 SO1 3.在 Rt SCE 中，Rt SCERt SO1C，所以 SESC2SO1（2 3）234 3.所以球半径 R2 3.所以球的表面积为 S4R24(2 3)248.一、选择题1设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5，那么它的体积为()A6 3 B 3 C2 3 D2【解析】选 B.由正六棱锥底面边长为 1 和侧棱长为 5，可知高 h2，又因为底面积 S3 32，所以体积 V13 Sh13 3 322 3.2九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今
11、有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有()A.14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛【解析】选 B.设底面圆半径为 R 尺因为米堆底部弧长为 8 尺，所以14 2R8，所以 R16.所以体积 V14 13 R25 112 1625.因为 3，所以 V3209(立方尺).所以堆放的米约为 32091.62 22(斛).3分别以一个锐角为 30的直角三角形的
12、最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是()A1 2 3 B62 3 3C62 3 3 D32 3 6【解析】选 C.设 Rt ABC 中，BAC30，BC1，则 AB2，AC 3，求得斜边上的高 CD 32，旋转所得几何体的体积分别为V113(3)21，V213 12 3 33，V313 322212.V1V2V31 3312 62 3 3.4(多选)(2021寿光高一检测)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏
13、由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下 0.02 cm3 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆以下结论正确的是()A.沙漏中的细沙体积为102481 cm3B沙漏的体积是 128cm3C细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为 2.4 cmD该沙漏的一个沙时大约是 1985 秒(3.14)【解析】选 ACD.A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径 r23 483(cm)，所以体积 V13 r
14、22h3 13 649163 102481(cm3)；B沙漏的体积 V213 h22h213 4282563(cm3)；C设细沙流入下部后的高度为 h1，根据细沙体积不变可知：10248113 h22h1，所以102481163h1，所以 h12.4(cm)；D因为细沙的体积为102481cm3，沙漏每秒钟漏下 0.02 cm3 的沙，所以一个沙时为：1024810.0210243.1481501 985(秒).二、填空题5若正方体的体对角线长为 a，则它的体积为_【解析】设正方体的边长为 x，则 3 xa，故 x a3，V 39a3.答案：39a36圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若
15、放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.【解析】设球的半径为 x cm，由题意得 x28x26x43 x33，解得 x4.答案：47如图，一个正三棱柱容器，底面边长为 a，高为 2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图，这时水面恰好为中截面，则图中容器内水面的高度是_【解析】设题图中容器内水面的高度为 h，水的体积为 V，则 VS ABCh.又题图中水组成了一个直四棱柱，其底面积为34 S ABC，高度为 2a，则 V34 S ABC2a，所以 h34S ABC2aS ABC32 a.答案：32 a8湖面上漂着一个
16、小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为 6 cm，深为 1 cm 的空穴，则该球半径是_cm，表面积是_cm2.【解析】设球心为 O，OC 是与冰面垂直的一条半径，冰面截球得到的小圆圆心为 D，AB 为小圆 D 的一条直径，设球的半径为 R cm，则 ODR1，则(R1)232R2，解得 R5，所以该球表面积为 S4R2452100(cm2).答案：5 100三、解答题9如图，已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 AA1AC4，BC3，ACBC，点 D是 AB 的中点，求三棱锥 A1-B1CD 的体积【思路导引】方法一：VA1-B1C DV 柱VA1-ADCVB1-BDCVC-A
17、1B1C1.方法二：利用等体积法求解，VA1-B1C DVC-A1B1D.【解析】因为 AA1AC4，BC3，ACBC，所以 ABA1B15.方法一：由题意可知VA1B1C1-ABCS ABCAA112 43424.又 VA1-ADC13 12 S ABCAA116 S ABCAA14.VB1-BDC13 12 S ABCBB116 S ABCBB14.VC-A1B1C113 S A1B1C1CC18，所以 VA1-B1CDVA1B1C1-ABCVA1-ADCVB1-BDCVC-A1B1C1244488.方法二：在 ABC 中过 C 作 CFAB，垂足为 F，由平面 ABB1A1平面 ABC
18、知，CF平面 A1B1BA.又 S A1B1D12 A1B1AA112 5410.在 ABC 中，CFACBCAB345125.所以 VA1-B1CDVC-A1B1D13 S A1B1DCF13 10125 8.10如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求阴影部分形成的几何体的表面积(其中BAC30)及其体积【解析】如图所示，过点 C 作 CO1AB 于点 O1，在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，所以 AC 3 R，BCR，CO1 32R，所以 S 球4R2，S 圆锥 AO1 侧 32R 3 R32 R2，S 圆锥 BO1 侧 32RR 32R2，S 几何体表S 球S 圆锥 AO1 侧S 圆锥 BO1 侧11 32R2，所以旋转所得到的几何体的表面积为11 32R2.又 V 球43 R3，V 圆锥 AO113 AO1CO21 14 R2AO1，V 圆锥 BO113 BO1CO2114 R2BO1，又 AO1BO12R，V 几何体V 球(V 圆锥 AO1V 圆锥 BO1)56 R3.