1、第2课时椭圆几何性质的综合问题互动探究关键能力探究点一椭圆中的最值与范围问题精讲精练例（1）（2021山东聊城三中高二月考）若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为( )A.5B.6C.7D.8（2）椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1,A2，点P在C上，且直线PA2的斜率的取值范围是-2,-1，则直线PA1的斜率的取值范围是( )A.12,34 B.38,34 C.12,1 D.34,1答案：（1）B（2）B解析：（1）由椭圆方程得F(-1,0)，设P(x0,y0)，则OPFP=(x0,y0)(x0+1,y0)=x02+
2、x0+y02，P为椭圆x24+y23=1上一点，x024+y023=1，即y02=3-34x02，且-2x02，OPFP=x02+x0+3-3x024=x024+x0+3=14(x0+2)2+2 .-2x02，当x0=2时，OPFP取得最大值6.（2）易知A1(-2,0),A2(2,0)，设P点坐标为(x0,y0)，则x024+y023=1，kPA2=y0x0-2，kPA1=y0x0+2，于是kPA1kPA2=y02x02-22=3-34x02x02-4=-34，故kPA1=-34kPA2 .kPA2-2,-1,kPA138,34 .故选B.解题感悟求解椭圆的最值问题的基本方法：（1）几何法：
3、若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解.（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用的方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等.迁移应用1.（2020山东潍坊高二期末）已知椭圆y2a2+x2=1(a1)的离心率e=255，P为椭圆上的一个动点，若定点B(-1,0)，则|PB|的最大值为( )A.32 B.2C.52 D.3答案：C解析：由题意可得a2-1a2=(255)2，
4、解得a2=5，则椭圆的方程为y25+x2=1，设椭圆上点P的坐标为(x,y)，则y2=5(1-x2)，故|PB|=(x+1)2+y2=(x+1)2+5(1-x2)=-4x2+2x+6=-4(x-14)2+254，当x=14时，|PB|max=52 .2.（2020江苏南通高二月考）已知椭圆x29+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2，椭圆上的动点P的坐标为(xP,yP)，且F1PF2为锐角，则yP的取值范围是( )A.(-455,0)(0,455) B.(-2,-455)(455,2)C.(-355,0)(0,355) D.(-3,-455)(455,3)答案：A解析：易知F1(-5,0)，
5、F2(5,0)，由F1PF2为锐角，得PF1PF2=xP2-5+yP20，由点P在椭圆x29+y24=1上，可得xP29+yP24=1，即xP2=9(1-yP24)，代入可得9(1-yP24)-5+yP20，整理得yP2165，即-455yP455，当yP=0时，F1PF2=0，不符合题意，舍去，所以yP的取值范围是(-455,0)(0,455) .探究点二椭圆上的点与直线的距离有关的问题精讲精练例已知椭圆x225+y29=1，直线l：4x-5y+40=0，求椭圆上的点到直线l的最短距离.答案：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交.设直线m平行于直线l且与椭圆相切，如图，则直
6、线m的方程可以设成4x-5y+k=0(k40) .由方程组4x-5y+k=0,x225+y29=1消去y，得25x2+8kx+k2-225=0 .由=64k2-425(k2-225)=0，解得k=25或k=-25 .由图可知，当k=25时，直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x-5y+25=0 .则直线m与直线l间的距离d=|40-25|42+(-5)2=154141，即为切点到直线l的距离.所以，所求的最短距离是154141 .解题感悟本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为平行线间的距离问题，即已知直线与和它平行且与椭圆相切的直线间的距离.此类问题的常规解法是
7、直线方程与椭圆方程联立，消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，利用直线与椭圆相切=0解决问题.迁移应用1.在椭圆x24+y27=1上求一点P，使它到直线l：3x-2y-16=0的距离最短，并求出最短距离.答案：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y=32x+m(m-8)，与x24+y27=1联立，整理得4x2+3mx+m2-7=0，则=9m2-16(m2-7)=0，m2=16,m=4，故两切线方程为y=32x+4和y=32x-4，易知直线y=32x-4，即3x-2y-8=0距直线l最近，距离d=|-16+8|32+(-2)2=81313，即d为切点P到直线l的最短距离.由x24+y27
8、=1,y=32x-4可得x=32,y=-74,故P点的坐标为(32,-74)，最短距离为81313 .探究点三椭圆的实际应用问题精讲精练例某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米.要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）.（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少米？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？并求出最小土方量.（已知：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的面积公式为S=ab，本题结果拱高h和拱宽l精确到0.01米，土方量精确到1立方米；3.14；72.646；21.414）
9、答案：（1）建立平面直角坐标系，如图，则点P(11,4.5)，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0) .将b=h=6米与点P的坐标代入椭圆方程，得a=4477，此时l=2a=887733.26米，因此隧道的拱宽约为33.26米.（2）根据题意，将(11,4.5)代入椭圆方程可得112a2+4.52b2=1 .因为112a2+4.52b2=12114.5ab（当且仅当112a2=4.52b2时取等号），所以ab99，所以S=ab2992，当S取最小值时，112a2=4.52b2=12，得a=112,b=922，此时l=2a=22231.11米，h=b6.36米，故当拱高约为6.36米、拱宽
10、约为31.11米时，土方工程量最小.最小土方量为9922500388575立方米.解题感悟本题考查椭圆的实际应用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题.迁移应用1.（2020福建厦门国祺中学高二月考）某海域有A,B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是近似椭圆的曲线C，曾有渔船在与A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A,B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图.（1）求曲线C的标准方程；（2）某日，研究人员在A,B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A
11、,B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5:3，则能否确定P处的位置（即点P的坐标）？答案：（1）由题意知曲线C是以A,B为焦点且长轴长为8的椭圆，设该椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a,b,c，则2c=4，则c=2，a=4，故b=23，所以曲线C的方程是x216+y212=1 .（2）因为A,B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5:3，所以鱼群此时距A、B两岛的距离比为5:3，即鱼群与A，B两岛的距离分别为5海里和3海里.设P(x,y)，易知B(2,0)，由|PB|=3得(x-2)2+y2=3，联立(x-2)2+y2=9,x216+y212=1,-4x4,解得x=2,y=3，所以点P
12、的坐标为(2,3)或(2,-3).评价检测素养提升课堂检测1.在椭圆x225+y216=1中，A1,A2分别为椭圆的左、右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，则MF1A2面积的最大值为( )A.16B.32C.162 D.322答案：A2.已知点P(x,y)是椭圆x29+y24=1上任意一点，则点P到直线l：y=x+5的最大距离为( )A.52+262 B.52-262C.52+26 D.52-26答案：A3.如图所示，“嫦娥五号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最
13、终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行.已知椭圆轨道和的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道和的半长轴长分别为a1,a2，半焦距分别为c1,c2，则以下四个关系：a1-c1a2-c2，c1a1c2a2，a1+c2=a2+c1，c1a1c2a2中正确的是 .答案：素养演练数学运算换元法在求与椭圆有关的最值中的应用1.已知点P是椭圆x22+y2=1上的一个动点.（1）定点A(1,0)，求|PA|的最小值；（2）求点P到直线2x+y+2=0的距离的最大值.答案：（1）由点P在椭圆x22+y2=1上，可设P(2cos,sin) .|PA|=(2cos-1)2+sin2=2-cos，所以当cos=1时，|PA|最小，为2-1 .（2）点P到直线2x+y+2=0的距离d=22cos+sin+25=3223cos+13sin+25=3sin(+)+25，其中sin=223,cos=13，取锐角.当sin(+)=1时，dmax=3+25=5，即点P到直线2x+y+2=0的距离的最大值为5 .素养探究：本题考查与椭圆有关的最值问题，因为点P是椭圆x22+y2=1上的一个动点，所以可设P(2cos,sin)，求出|PA|和P点到直线距离的表达式，结合三角函数知识即可求解.体现了数学运算的核心素养.
