1、不等式的基本性质基础过关练题组一用不等式(组)表示不等关系1.下列说法正确的是()A.某人的月收入为x元,则其不高于2000元可表示为“xy”C.某变量x至少是a可表示为“xa”D.某变量y不超过a可表示为“ya”2.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7支,练习本至少买6本,设买铅笔x支,练习本y本,则满足条件的不等式组为()A.x7y60.6x+0.7y10x,yN*B.x7y60.6x+0.7y10x,yN*C.x7y60.6x+0.7y10x,yN*D.x7y60.6x+0.7y10x,yN*3.(2020江苏宜兴中学高一月考
2、)某杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本,据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元,则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为.题组二实数(代数式)的大小比较4.(2020江苏昆山中学高一月考)若x1,则x2与x2-x+1的大小关系是()A.x2x2-x+1B.x2x2-x+1C.x2bcB.cabC.cbaD.bca6.(2020江苏南通如东高级中学高一月考)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数.设计师将某手机的屏幕面积与整机面积同时增加相同的数值,作为一款新手机的“屏占比”,则新手机
3、的“屏占比”与原手机的“屏占比”相比()A.不变B.变小C.变大D.不确定7.(2020江苏连云港赣榆智贤中学高一期中)如果x0,0y1,那么y2x,yx,1x按从小到大的顺序排列是.题组三不等式的性质及其应用8.(2020江苏盐城大丰新丰中学高二上期中)若b0a,dc0,则下列正确的是(深度解析)A.bdbdC.a-cb-dD.a+cb+d9.(2020江苏常州高级中学高一月考)已知a,b,cR,给出下列条件:a2b2;1abc2,则使得ab成立的充分不必要条件是()A.B.C.D.10.(2020江苏镇江第一中学高一月考)实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关
4、系式成立的是()A.cbaB.cabC.acbD.cab11.(2020北京中关村中学高一期中)已知a0,-1b0,那么a,ab,ab2的大小关系为.(用“”连接)题组四求代数式的取值范围12.(2020北京师范大学附属实验中学高二期中)设实数x,y满足3x4,1y2,则2x-y的取值范围是()A.(4,6)B.(4,7)C.(5,6)D.(5,7)13.(2020黑龙江大庆实验中学高一下期末)已知实数x,y满足-4x-y-1,-14x-y5,则3x+y的最大值为()A.8B.9C.16D.1814.已知12a60,15b36,则ab的取值范围为.15.已知-2a3,1bqB.pbc0,x=a
5、2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z的大小关系是(用“”连接).4.(2020辽宁大连第二十四中学高三模拟,)已知a+b0,则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是.5.(2019安徽安庆三校联考,)某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属于团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的一张全票价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.题组二求代数式的取值范围6.(多选)(2020江苏江阴南菁高级中学高一月考,)已知实数x,y满足-1x+y3,42x-y9
6、,则()A.1x4B.-2y1C.24x+y15D.13x-y2337.(2020江苏徐州第三中学高一月考,)已知满足1x+y3,-1x-y1的有序实数组(x,y)构成的集合为A,则下列命题为真命题的是()A.(x,y)A,4x+2y2B.(x,y)A,4x+2y2C.(x,y)A,4x+2y10题组三不等式的性质及其应用8.(多选)(2020江苏南京师大附中高一期中,)下列四个条件中,能成为xy的充分不必要条件的是()A.xt2yt2B.xtytC.x|y|D.01x1y9.(2020上海奉贤奉城高级中学高一月考,)某花店搞活动,6枝红玫瑰与3枝黄玫瑰价格之和大于24元,4枝红玫瑰与5枝黄玫
7、瑰价格之和小于22元,那么2枝红玫瑰与3枝黄玫瑰的价格相比()A.2枝红玫瑰贵B.3枝黄玫瑰贵C.一样贵D.不能确定10.(多选)(2020江苏南通平潮高级中学高二期中,)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在砺智石一书中首次把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,cR,则下列命题正确的是()A.若ab0,则ac2bc2B.若ab0,则a+1bb+1aC.若abc0,则ba0,b0,则b2a+a2ba+b11.(2020江苏苏州高新第一中学高一月考,)若-1x1,-1y1,求证:x-y1-xy21.答案全解全析第
8、3章不等式3.1不等式的基本性质基础过关练1.C对于A,应为x2000,故A错误;对于B,x,y应满足x1,所以x-10,即x2-(x2-x+1)0,所以x2x2-x+1.故选A.5.D由题意得a2=(2+6)2=8+212,c2=(3+5)2=8+215,易知c2a2,ca.b2-c2=16-(8+215)=8-2150,b2c2,bc.bca.故选D.6.C设原手机的“屏占比”为ba,新手机的“屏占比”为b+ma+m(ab0,m0).因为b+ma+m-ba=(a-b)ma(a+m)0,即b+ma+mba,所以新手机的“屏占比”与原手机的“屏占比”相比变大.故选C.7.答案1xyxyx.因为
9、yx1x=y(0,1),所以yx1x.综上,1xyxy2x.8.Db0,d0,c0,bd0,ac0,acac,acbd,故A,B错误;令a=1,b=-1,d=-5,c=-2,则a-cb-d,故C错误;b00,dc0,d-cd-c,即a+cb+d,故D正确.解题模板两个式子比较大小的常用方法:作差和0比;作商和1比;直接利用不等式的性质得到大小关系.9.C对于,由a2b2,得|a|b|,不一定有ab成立,故不符合;对于,当a=-1,b=1时,1ab不成立,故不符合;对于,由ac2bc2,知c0,所以ab成立,当ab成立时,不一定有ac2bc2,故符合.故选C.10.A因为a2=2a+c-b-1,
10、所以(a-1)2=c-b0,所以cb.因为a+b2+1=0,所以a=-b2-1,所以b-a=b+b2+1=b+122+340,所以ba.所以cba.故选A.11.答案aab2ab解析由a0,-1b0,ab20,0b2ab2.因为ab2-a=a(b2-1)0,所以ab2a.所以aab2ab.12.B由已知得62x8,-2-y-1,两式相加得42x-y7.故选B.13.C解法一:令s=x-y,t=4x-y,则x=t-s3,y=t-4s3,3x+y=3t-s3+t-4s3=4t-7s3,-4s-1,-1t5,73-7s3283,-434t3203,14t-7s316,3x+y的最大值为16.解法二:
11、设3x+y=m(x-y)+n(4x-y)=(m+4n)x+(-m-n)y,m,nR,则m+4n=3,且-m-n=1,解得m=-73,n=43,-4x-y-1,-14x-y5,73-73(x-y)283,-4343(4x-y)203,1-73(x-y)+43(4x-y)16,即13x+y16,3x+y的最大值为16.故选C.14.答案ab|13ab4解析由15b36得1361b115,又12a60,所以根据不等式的性质可得12136a1b11560,即13ab4,所以ab的取值范围为ab|13ab4.15.解析(1)0|a|3.(2)-1a+b5.(3)依题意得-2-b-1,又-2a3,所以-4
12、a-b2.(4)由-2a3得-42a6,由1b2得-6-3b-3,+,得-100,q=a2-a+1=a-122+340.qp=a2-a+1(a2+a+1)-1=(a2-a+1)(a2+a+1)=(a2+1)2-a2=(a2)2+a2+11,当且仅当a=0时取等号,pq.故选D.2.B设从寝室到教室的路程为s,甲、乙两人的步行速度为a,跑步速度为b,且0a0,t甲t乙=(a-b)2+4ab4ab=(a-b)24ab+11,t甲t乙,即先到教室的是乙.故选B.3.答案zyx解析由abc0,可得a-b0,b-c0.易得x0,y0,z0.因为y2-x2=b2+(c+a)2-a2+(b+c)2=2c(a
13、-b)0,即y2x2,所以yx.因为z2-y2=c2+(a+b)2-b2+(c+a)2=2a(b-c)0,即z2y2,所以zy.所以zyx.4.答案ab2+ba21a+1b解析ab2+ba2-1a+1b=a-bb2+b-aa2=(a-b)1b2-1a2=(a+b)(a-b)2a2b2.a+b0,(a-b)20,a2b20,(a+b)(a-b)2a2b20,ab2+ba21a+1b.5.解析设该单位职工有n(nN*)人去学习,一张全票的价格为x元,包甲车队需花y1元,包乙车队需花y2元,则y1=x+34x(n-1)=14x+34nx,y2=45nx.y1-y2=14x+34nx-45nx=14x
14、-120nx=14x1-n5.当n=5时,y1=y2;当n5时,y1y2;当ny2.因此,当该单位去的人数为5时,两车队收费相同;当该单位去的人数大于5时,甲车队更优惠;当该单位去的人数小于5时,乙车队更优惠.6.AC因为-1x+y3,42x-y9,所以33x12,则1x4,故A正确;易得-6-2x-2y2,42x-y9,所以-2-3y11,则-113y23,故B错误;易知4x+y=2(x+y)+2x-y,所以24x+y15,故C正确;易知x-y=-13(x+y)+23(2x-y),所以53x-y193,故D错误.故选AC.7.C令4x+2y=(x+y)+(x-y)=(+)x+(-)y,R,则
15、+=4,-=2,解得=3,=1,故4x+2y=3(x+y)+x-y.因为1x+y3,所以33(x+y)9,又-1x-y1,所以24x+2y10,所以(x,y)A,4x+2yyt2,则t20,xy,反之,若xy,不能得出xt2yt2,故A符合;对于B,当xtyt时,若t0,则x|y|,又|y|y,可得xy,反之,若xy,不能得出x|y|,故C符合;对于D, 在(0,+)上,y=1x的值随x的增大而减小,所以当01xy,反之,若xy,不能得出01x24,4x+5y883,-43(4x+5y)-883,所以119(6x+3y)-43(4x+5y)0,即2x-3y0,所以2x3y.所以2枝红玫瑰贵.故
16、选A.10.BCD对于A选项,当c=0时,ac2=bc2,A选项错误;对于B选项,a+1b-b+1a=a-b+1b-1a=a-b+a-bab=(a-b)1+1ab,ab0,a-b0,1+1ab0,(a-b)1+1ab0,a+1b-b+1a0,a+1bb+1a,B选项正确;对于C选项,ba-b+ca+c=b(a+c)-a(b+c)a(a+c)=c(b-a)a(a+c),abc0,a+c0,c(b-a)a(a+c)0,ba-b+ca+c0,ba0,b0,(b+a)(b-a)2ab0,即b2a+a2b-(a+b)0,b2a+a2ba+b,D选项正确.故选BCD.11.证明因为-1x1,-1y1,所以x-y1-xy21成立的充要条件为(x-y)2(1-xy)2.(x-y)2-(1-xy)2=x2+y2-2xy-(1-2xy+x2y2)=x2+y2-1-x2y2=-(y2-1)(x2-1).因为-1x1,-1y1,所以0x21,0y21,所以x2-10,y2-10,所以-(y2-1)(x2-1)0,即(x-y)2-(1-xy)20,所以(x-y)2(1-xy)2,所以x-y1-xy21.