1、2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程目标定位重点难点1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程2.能根据条件确定双曲线的标准方程重点：双曲线的定义及标准方程难点：求双曲线的标准方程1双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数(小于_)的点的轨迹叫作双曲线平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为_|F1F2|以F1，F2为端点的两条射线平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹_(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1，F2叫作_，两焦点间的距离叫作_2双曲线的标准方程(1
2、)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是_，焦点F1(_)，F2(_)(2)焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是_，焦点F1(_)，F2(_)x2a2y2b21(a0，b0)不存在双曲线的焦点双曲线的焦距c,0c,0y2a2x2b21(a0，b0)0，c0，c(3)双曲线中 a，b，c 的关系是_(4)已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设为 Ax2By21(AB_0)(5)双曲线的标准方程中，若 x2 项的系数为正，则焦点在_轴上；若 y2 项的系数为正，则焦点在_轴上c2a2b2xy1“3m5”是“方程 x2m5y2m2m61 表示的图形为双曲线”的()A充
3、分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 3m5 时，m50，m2m60，方程 x2m5y2m2m61 表示的图形为双曲线；当方程 x2m5y2m2m61 表示的图形为双曲线时，则(m5)(m2m6)0，3m5 或 m2.“3m5”是“方程 x2m5y2m2m61 表示的图形为双曲线”的充分不必要条件故选 A2若ax2by2b(ab0)，则这曲线是()A双曲线，焦点在x轴上B双曲线，焦点在y轴上C椭圆，焦点在x轴上D椭圆，焦点在y轴上【答案】B【解析】原方程可化为x2bay21，ab0，bar2)由双曲线定义，有 r1r22a4，两边平方得 r21r22
4、2r1r216.由F1MF22，可得 r21r22|F1F2|2，SF1MF212r1r2.所以|F1F2|24SF1MF216，即 52164SF1MF2，求得 SF1MF29.(2)若F1MF23，在MF1F2 中，由余弦定理得|F1F2|2r21r222r1r2cos3，即|F1F2|2(r1r2)2r1r2，可得 r1r236，求得 SF1MF212r1r2sin39 3.同理可求得若F1MF223，SF1MF23 3.(3)由以上结果可见，随着F1MF2 的增大，F1MF2 的面积将减小证明如下：令F1MF2，则 SF1MF212r1r2sin.由双曲线定义及余弦定理，有r1r224
5、a2，r21r222r1r2cos 4c2.得 r1r2 4c24a221cos，所以 SF1MF2c2a2sin 1cos b2tan 2.因为 00.因此当 增大时，SF1MF2 b2tan 2减小双曲线上的点P与其两焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形令 PF1r1，PF2r2，F1PF2，又 F1F22c，则|r1r2|2a，4c2r21r222r1r2cos，SPF1F212r1r2sin.1(2017 年上海)设双曲线x29y2b21(b0)的焦点为 F1，F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1|5，则|PF2|_.【答案】11【解析】双曲线x29y2b21 中
6、，a 93.由双曲线的定义得|PF1|PF2|6.又|PF1|5，解得|PF2|11 或1(舍去)，所以|PF2|11.求双曲线的标准方程【例 2】已知双曲线过 P12，32 5 和 P243 7，4 两点，求双曲线的标准方程【解题探究】用待定系数法确定双曲线的标准方程，须确定标准方程的形式和两个独立条件，从而建立关于 a，b 的方程【解析】双曲线的焦点位置不确定，可设双曲线方程为 mx2ny21(mn0，b0)，则 a2b252，4 22a232b21.解得a250，b225(舍去)或a216，b29.双曲线的标准方程为x216y291.忽视焦点所在位置致误【示例】方程 x22my2|m|3
7、1 表示双曲线，那么实数 m的取值范围是_【错解】由2m0，|m|30，解得3m2，m 的取值范围是m|3m0，|m|30或2m0，解得3m3.m 的取值范围是m|3m3【警示】通过双曲线的标准方程可以判断焦点的位置，其方法是看 x2，y2 的系数的符号，哪个系数为正，焦点就在哪个坐标轴上本题不能确定 x2，y2 的系数的符号，必须分类讨论1应用双曲线的定义解题，要分清是双曲线的哪一支，是否两支都符合要求，结合已知条件进行判断2用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为mx2ny21(mn0)或进行分类讨论1若动点 P 到 F1(5,0)与 F2(5,0)的
8、距离的差为8，则 P点的轨迹方程是()A.x225y2161Bx225y2161C.x216y291Dx216y291【答案】D【解析】P 点的轨迹是以 F1(5,0)和 F2(5,0)为焦点的双曲线且 a4，c5，b2c2a29.P 点的轨迹方程为x216y291.故选 D.2在方程mx2my2n中，若mn0，则方程表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆D焦点在y轴上的双曲线【答案】D【解析】将方程化为 y2nm x2nm1，由 mn0，方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线3(2019 年贵州贵阳期末)设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线y2mx291 的一个焦点，则 m 的值为()A4 B5 C16 D25【答案】C【解析】由点 F(0,5)可知该双曲线y2mx291 的焦点落在 y轴上，m0，且 m952.解得 m16.4已知双曲线x25y241 的左、右焦点分别为 F1，F2，点M 在双曲线上且横坐标为 2 5，则MF1F2 的面积为_【答案】6 3【解析】由x25y241，得 c 543，则|F1F2|2c6.把 x2 5代入x25y241，解得 y2 3，所以MF1F2 的面积为1262 36 3.