1、（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）一、选择题1.已知数列an是首项为a1=4的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,则其公比q等于 （）A.1B.-1C.1或-1D.【解析】 依题意有2a5=4a1-2a3,即2a1q4=4a1-2a1q2,整理得q4+q2-2=0,解得q2=1(q2=-2舍去),所以q=1或-1,选C.【答案】 C2在数列an中，对任意nN*，都有k(k为常数)，则称an为“等差比数列”下面对“等差比数列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；通项公式为anabnc (a0，b0,1)的数列一定是等差比数列其中正确的
2、判断为()A BC D【解析】若k0时，则an2an10，因为an2an1可能为分母，故无意义，故k不可能为0，正确；若等差、等比数列为常数列，则错误由定义知正确【答案】D3.已知正项数列an的前n项的乘积等于Tn=（nN*），bn=log2an，则数列bn的前n项和Sn中的最大值是 （）A.S6B.S5C.S4D.S3【解析】Sn=b1+b2+bn=log2（a1a2an）=log2Tn=12n-2n2=-2(n-3)2+18，n=3时，Sn的值最大.故选D.【答案】 D4(2014成都模拟)已知数列an满足an2an1an1an，nN*，且a5.若函数f(x)sin 2x2cos2 ，记y
3、nf(an)，则数列yn的前9项和为( )A.0 B.9C.9 D.1【解析】由数列an满足an2an1an1an，nN*可知该数列是等差数列，根据题意可知只要该数列中a5，数列yn的前9项和就能计算得到一个定值，又因为f(x)sin 2x1cos x，则可令数列an的公差为0，则数列yn的前9项和为S9(sin 2a1sin 2a2sin 2a9)(cos a1cos a2cos a9)99sin 2a59cos a599sin（2）9cos 99.【答案】C5(2013武汉模拟)已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足ax，且f(x)g(x)f(x)g(x)，若有穷数列 (nN*)的前n
4、项和等于，则n()A5 B6C7 D8【解析】令h(x)ax，0，h(x)在R上为减函数，0a1.由题知，a1a1，解得a或a2(舍去)，.有穷数列的前n项和Sn1()n，n5.【答案】A6.在如图所示的程序框图中，当输出T的值最大时，n的值等于( )A.6 B.7 C.6或7 D.8【解析】该程序框图的实质是输出以a164为首项，为公比的等比数列an的前n项的乘积Tna1a2an(n1,2，15)，由于a71，所以在Tn(n1,2，15)中，T6T7且最大.选C.【答案】C二、填空题7(2013南昌模拟)下面给出一个“直角三角形数阵”，满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，
5、且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(ij，i，jN*)，则a83等于【解析】设第一列为数列an1，则an1(n1).设第n行第m列为anm（）m1，a8384（）3112.【答案】128.设Sn为数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列cn是首项为2，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，则d .【解析】由题意可知，数列cn的前n项和为Sn，前2n项和为S2n，所以22，所以当d4时，为非零常数.【答案】49.正整数按下列方法分组：1，2,3,4，5,6,7,8,9，10,11,12,13,14,15,16，记第n组中各数之和
6、为An；由自然数的立方构成下列数组：03,13，13,23，23,33，33,43，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则AnBn .【解析】由题意知，前n组共有135(2n1)n2个数，所以第n1组的最后一个数为(n1)2，第n组的第一个数为(n1)21，第n组共有2n1个数，所以根据等差数列的前n项和公式可得An(2n1)(n1)2n(2n1)，而Bnn3(n1)3，所以AnBn2n3.【答案】2n310.数列满足条件：，且对n2时，已知，则正整数n=.【解析】依题意，且当n为偶数时，而当n为大于1的奇数时，所求n必为偶数，必为奇数，为偶数， ，由以上可知当且仅当时成立，n=6.【答案
7、】6三、解答题11.（2014惠州调研）已知数列an中，a12，anan12n0(n2，nN*).(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列an的通项公式；(2)设bn，若对任意的正整数n，当m1,1时，不等式t22mtbn恒成立，求实数t的取值范围.【解析】(1)a12，anan12n0(n2，nN*)，a26，a312.当n3时，anan12n，an1an22(n1)，又a3a223，a2a122，ana12n(n1)32，an2n(n1)3212n(n1).当n1时，a12；当n2时，a26，也满足上式，数列an的通项公式为ann(n1).(2) bn令f(x)2x(x1)，则f(
8、x)2，当x1时，f(x)0恒成立，函数f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max.要使对任意的正整数n，当m1,1时，不等式t22mtbn恒成立，则需t22mt(bn)max，即t22mt0对m1,1恒成立，t22t0，t22t0，解得t2或t2，实数t的取值范围为(，2)(2，).12(2013苏北四市调研二)设Sn为数列an的前n项和，若 (nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”(1)若数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列bn是否为“和等比数列”；(2)若数列cn是首项为c1，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn
9、是“和等比数列”，试探究d与c1之间的关系【解析】(1)因为数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn24n122n1，因此，bn2n1，设数列bn前n项和为Tn，则Tnn2，T2n4n2，所以4.因此数列bn是“和等比数列”(2)设数列cn的前n项和为Rn，且k(k0)，则由cn是等差数列，得Rnnc1d，R2n2nc1d，所以k.对于nN*都成立，化简得(k4)dn(k2)(2c1d)0，则有.因为d0，所以k4，d2c1.因此，d与c1之间的等量关系为d2c1.13.已知数列xn满足：x1=1,xn+1= (nN*).（1）是否存在mN*，使xm=2？证明你的结论；（2）试比较xn与2的大小；（3）设an=|xn-2|,数列an的前n项和为Sn，求证：Sn2-21-n.【解析】 （1）假设存在mN*，使得xm=2，则xm= =2，解得xm-1=2,依次类推得x1=2矛盾，故这样的m不存在；（2）当n2时，xn+1-2= -2=,又xn+1=1+，由x1=1及数学归纳法可推得xn1,故xn+12，从而xn+1-2与xn-2正负相异，由于x1=12,可得x2k2,x2k-12(kN*);（3）由上知xn+12,|xn+1-2|=|xn-2|,anan-1 a2a1=,Sn1+=2-21-n.