1、1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念(重点)2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件(易混点)3.能够利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要条件的证明(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1充分条件与必要条件(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明断定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已(2)若pq，但qp，称p是q的充分不必要条件，若qp，但pq，称p是q的必要不充分条件思考1：若p
2、是q的充分条件，p是唯一的吗？提示不一定唯一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件，如x3是x0的充分条件，x5，x10等都是x0的充分条件2充要条件一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价思考2：若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件吗？提示是因为pq，qr，所以pr，所以p是r的充要条件基础自测1思考辨析(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()(3)若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件(
3、)提示(1)(2)(3)2“x0”是“0”成立的()【导学号：73122048】A充分条件B必要条件C既不充分也不必要条件D充要条件A本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x0显然能推出0，而0|x|0x0，不能推出x0，故选A.3已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B由acbd变形为abcd，因为cd，所以cd0，所以ab0，即ab，acbdab.而ab并不能推出acbd.所以ab是acbd的必要不充分条件故选B.4命题p：(x1)(y2)0；命题q：(x1)2(y2)20，
4、则命题p是命题q的()【导学号：73122049】A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B命题p：(x1)(y2)0x1或y2.命题q：(x1)2(y2)20x1且y2.由qp成立，而由pq成立合 作 探 究攻 重 难充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)设a，b为向量，则“|ab|a|b|是“ab”的()A充分不必要条件B必要充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|的”()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件(3)如果x，y是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的()A充要条件B充
5、分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析(1)设向量a，b的夹角为，则ab|a|b|cos ，若|ab|a|b|cos 1，则向量a，b的夹角为0或，即ab为真；若ab，则向量a，b的夹角为0或，|ab|a|b|，所以“|ab|a|b|”是“ab”的充要条件特别地，当向量a或b为零向量时，上述结论也成立故选C.(2)构造函数f(x)x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数因为f(x)所以函数f(x)在R上单调递增，所以abf(a)f(b)a|a|b|b|.故选C.(3)设集合A(x，y)|xy，B(x，y)|cos xcos y，则A的补集C(x，y)|xy，B的补集D(x，y)
6、|cos xcos y，显然CD，所以BA.于是“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件故选C.答案(1)C(2)C(3)C规律方法充分条件和必要条件的两种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行确定条件p是什么，结论q是什么；尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；确定条件p和结论q的关系.(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设Ax|p(x)，Bx|q(x)，若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件.提醒：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要
7、条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”.跟踪训练1指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)(1)在ABC中，p：AB，q：BCAC.(2)对于实数x，y，p：xy8，q：x2且y6.(3)在ABC中，p：sin Asin B，q：tan Atan B.解(1)在ABC中，显然有ABBCAC，所以p是q的充要条件(2)因为：x2且y6xy8，但xy8x2且y6，所以p是q的必要不充分条件(3)取A120，B30，pq，又取A30，B120，qp，所以p是q的既不充分也不必要条件.充要条件的探求与证明已知
8、数列an的前n项和Snpnq(p0且p1)，求证数列an为等比数列的充要条件为q1. 【导学号：73122050】思路探究充分性：由q1推出an是等比数列；必要性：由an是等比数列推出q1.证明(1)充分性：当q1时，a1p1，当n2时，anSnSn1pn1(p1)，当n1时也成立p0且p1，p，即数列an为等比数列(2)必要性：当n1时，a1S1pq.当n2时，anSnSn1pn1(p1)p0且p1，p.an为等比数列，p.p，q1，即数列an为等比数列的充要条件为q1.规律方法证明“p是q的充要条件”时，要分别从“pq”和“qp”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面.但是，在表
9、述中要注意两种句式的不同，分清充分性与必要性对应的关系.如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“pq”成立，必要性是指“qp”成立.而证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“qp”成立，必要性是指“pq”成立.提醒：在充分性与必要性分别进行证明的试题中，需要分清命题的条件是什么，结论是什么；在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明，即用等价转化法进行推理证明.跟踪训练2已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要条件是xy，其中x，yR，且xy1.证明充分性：若点P满足xy，其中x，yR，且xy1，消去y，得x(1x)x()，x()，即x.点P在直线AB上，
10、即点P在直线l上必要性：设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，存在实数t，使得tt()，tt(1t)t.令1tx，ty，则xy，其中x，yR，且xy1.利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)探究问题1p是q的必要不充分条件的等价命题是什么？提示q是p的必要不充分条件2如何从集合的角度判断充分条件、必要条件、充要条件？提示若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立已知Px|x28
11、x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，求m的取值范围. 【导学号：73122051】思路探究解出集合P，把xP是xS的必要条件转化为集合间的包含关系，列不等式组求m的取值范围解由x28x200，得2x10，Px|2x10，由xP是xS的必要条件，知SP.则0m3.当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3母题探究：1.(变条件)本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件解若xP是xS的充要条件，则PS，即不存在实数m，使xP是xS的充要条件2(变条件)本例条件不变，若xP是xS的必要条件，求实数m的取值范围解由例题知Px|2x10，P是S的必要
12、条件，PS且SP.2,101m,1m或m9，即m的取值范围是9，)规律方法在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑.注意推出的方向及推出与子集的关系.提醒：要注意区间端点值的检验.当 堂 达 标固 双 基1若R，则“0”是“sin cos ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A当0时，sin 0，cos 1，sin cos ；而当sin cos 时，2k2k，kZ，故“0”是“sin cos ”的充分不必要条件2设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的()【导学号：73122052】A充分不必要条件B必要不充分条件C
13、充要条件 D既不充分又不必要条件D可采用特殊值法进行判断，令a1，b1，满足ab，但不满足a2b2，即“ab”不能推出“a2b2”；再令a1，b0，满足a2b2，但不满足ab，即“a2b2”不能推出“ab”故选D.3函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是()Am2Bm2Cm1Dm1A当m2时，f(x)x22x1的图象关于x1对称，反之也成立所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.4下列命题中是假命题的是_(填序号)“x2且y3”是“xy5”的充要条件；“AB”是“AB”的充分条件；“b24ac0”是“ax2bxc0(a0)的解集为R”的充要条件；“sin ”的充分条件；“MN”是“log2Mlog2N”的充要条件当x2且y3时，xy5成立，反之，例如x1，y5，xy5，但x2，故为假命题；当A1,3，B1,2，AB1，但AB，故为假命题；ax2bxcMN时，log2M，log2N无意义，故为假命题故填.5已知x，y都是非零实数，且xy，求证：的充要条件是xy0. 【导学号：73122053】证明法一：(充分性)由xy0及xy，得，即.(必要性)由，得0，即0.因为xy，所以yx0，所以xy0.所以的充要条件是xy0.法二：00.由条件xyyx0，故由0xy0.所以xy0，即的充要条件是xy0.