1、2.2.3 椭圆习题课目标定位重点难点1.提升对椭圆定义、标准方程的理解，进一步巩固椭圆的简单几何性质2.掌握如何解决直线与椭圆位置关系的相关问题重点：椭圆的几何性质难点：直线与椭圆的关系1点与椭圆的位置关系点 P(x0，y0)与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系：点 P 在椭圆上x20a2y20b21；点 P 在椭圆内部x20a2y20b21.1直线 ykx1 与椭圆x25y2m1 总有公共点，则实数 m的取值范围是()Am1Bm1 或 0m1C0m5 且 m1Dm1 且 m5【答案】D【解析】直线 ykx1 是过点(0,1)的任意直线，要其与椭圆x25y2m1 总有公共点，则点(0
2、,1)在椭圆内或椭圆上，所以 01m1，即 m1 或 m0 且 m5.所以 m1 且 m5.【答案】C2以 F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x 3y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长是()A3 2B2 6C2 7D4 2【解析】设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)由b2x2a2y2a2b20，x 3y40，得(a23b2)y28 3b2y16b2a2b20.由 0 及 c2，可得 a27，2a2 7.3过椭圆x213y2121 的右焦点与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 A，B 两点，则|AB|_.【答案】24 1313【解析】椭圆的右焦点为(1,0)，把 x1 代入x2
3、13y2121 中，得 y212213，y12 1313，|AB|24 1313.4若点 O 和点 F 分别为椭圆x22y21 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则|OP|2|PF|2 的最小值为_【答案】2【解析】由题意，F(1,0)，设点 P(x，y)，则有x22y21，解得 y21x22.于是|OP|2|PF|2x2y2(x1)2y2x2(x1)22x2(x1)22，又|x|2，所以|OP|2|PF|2 的最小值为 2.【解题探究】利用根与系数的关系法或点差法求解直线与椭圆的位置关系【例 1】已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆x236y291 所截得的线段的中点(1)求直线
4、 l 的方程；(2)求直线 l 被椭圆截得的弦长解：(1)方法一(根与系数的关系法)：由题意知直线 l 的斜率存在，可设直线 l 的方程为 y2k(x4)，椭圆的方程可以化为 x24y2360.将直线方程代入椭圆方程，化简得(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360.x1x28k4k24k21 8，解得 k12.直线 l 的方程为 y212(x4)，即 x2y80.方法二(点差法)：设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x214y21360，x224y22360.两式相减，得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.又 x1x28，y1y24
5、，y1y2x1x212，即 k12.直线 l 的方程为 x2y80.(2)由(1)知直线 l：x2y80，联立椭圆方程，得 x28x140.方法一：解方程，得x14 2，y12 22，x24 2，y22 22.直线 l 被椭圆截得的弦长为4 24 222 22 2 222 10.方法二：x1x28，x1x214，直线 l 被椭圆截得的弦长为1122 82414 10.解决椭圆中点弦问题的两种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然
6、后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2y2b21(ab0)上 的 两 个 不 同 的 点，M(x0，y0)是 线 段 AB 的 中 点，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，得 1a2(x21x22)1b2(y21y22)0，变形得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2b2a2x0y0，即 kABb2x0a2y0.1(2019 年吉林长春模拟)椭圆 mx2ny21 与直线 y1x 交于 M，N 两点，过原点与线段 MN 中点所在直线的斜率为 22，则mn的值是()A 22 B2 33 C9 22 D2 327【答案】A
7、【解析】由mx2ny21，y1x，消去 y，化简得(mn)x22nxn10.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为(x0，y0)，则x1x2 2nmn，x0nmn.代入 y1x，得 y0 mmn.由题意知y0 x0 22，mn 22.故选 A与椭圆有关的综合问题【例 2】如图所示，点 A，B 分别是椭圆x236y2201 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上且位于 x轴上方，PAPF.(1)求点 P 的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值【解题探究】(1)设出点的坐标
8、，联立方程组求解；(2)配方法求最值【解析】(1)由已知可得点 A(6,0)，F(4,0)，设点 P 的坐标是(x，y)则AP(x6，y)，FP(x4，y)由已知得x236y2201，x6x4y20.则 2x29x180，即得 x32或 x6.由于点 P 位于 x 轴上方，只能 x32，于是 y52 3.点 P 的坐标是32，52 3.(2)直线 AP 的方程是 x 3y60.设点 M 的坐标是(m,0)，则 M 到直线 AP 的距离是|m6|2，于是|m6|2|m6|.又6m6，解得 m2.设椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离为 d，有 d2(x2)2y2x24x42059x249x922
9、15，其中6x6.当 x92时，d 取最小值 15.解决与椭圆有关的最值问题，一般有三种思路：(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围2.(2020 年四川成都模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3，0)，长半轴与短半轴的比值为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点 A(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N.若点 B(0,1)在以线段 MN 为直径的圆上，求直线 l 的方程.解：(1)由题可知 c 3，ab2，a
10、2b2c2，a2，b1.椭圆 C 的方程为x24 y21.(2)易知当直线 l 的斜率为 0 或直线 l 的斜率不存在时，不合题意.当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2).联立消去 x，得(4m2)y22my30.16m2480，y1y2 2m4m2，y1y2 34m2.点 B 在以 MN 为直径的圆上，BM BN 0.BM BN(my11，y11)(my21，y21)(m21)y1y2(m1)(y1y2)20，(m21)34m2(m1)2m4m220，整理，得 3m22m50，解得 m1 或 m53.直线 l 的方程为 xy10
11、 或 3x5y30.忽略 0 出错【示例】已知椭圆的一个顶点为 A(0，1)，焦点在 x 轴上，若右焦点到直线 xy2 20 的距离为 3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l 为 yxm，则是否存在实数 m，使直线 l 与(1)中的椭圆有两个不同的交点 M，N 且|AM|AN|？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由【错解】(1)依题意，设椭圆的方程为x2a2y21，设右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式得|c2 2|23，c 2.a2b2c23.所求椭圆的方程为x23y21.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得yxm，x23y21，4x26mx3m230.x1
12、x232m，y1y2m2.|AM|AN|，x21y112 x22y212.平方整理得(x1x2)(x1x2)(y1y22)(y1y2)0.又 y1y2x1x2，32mm220.m2.【错因分析】此解忽视了直线与椭圆有两个不同交点的条件：0，而m2时，0，不符合题意【正解】(1)依题意，设椭圆的方程为x2a2y21,设右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式得|c2 2|23，c 2.a2b2c23.所求椭圆的方程为x23y21.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得yxm，x23y21，4x26mx3m230.x1x232m，y1y1m2.|AM|AN|，x21y112 x
13、22y212.平方整理得(x1x2)(x1x2)(y1y22)(y1y2)0.【警示】研究直线与椭圆的位置关系，通常联立直线与椭圆的方程消元，在求解过程中容易忽略对根的判别式的判断又 y1y2x1x2，32mm220.m2.又 0，(6m)244(3m23)0，解得2m2.满足条件的 m 的值不存在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般转化为一元二次方程问题，利用判别式和根与系数的关系来处理，我们习惯上称为“设而不求”，对于中点弦，通常采用“点差法”求解1直线 ykxk1 与椭圆x29y241 的位置关系为()A相切 B相交C相离 D不确定【答案】B【解析】直线 ykxk1 可变形为 y1k(
14、x1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29y241 的内部，所以直线 ykxk1 与椭圆x29y241 相交故选 B2直线 yxm 与椭圆 x2144y2251 有两个公共点，则实数 m 的取值范围是()A(5,5)B(12,12)C(13,13)D(15,15)【答案】C【解析】联立 x2144y2251，yxm，整理可得 169x2288mx144(m225)0，因为直线与椭圆有两个交点，所以 2882m24169144(m225)0，解得13m13.3椭圆 x24y216 被直线 y12x1 截得的弦长为_【答案】35【解析】由x24y216，y12x1，消去 y，化简得 x22x60.设直线与椭圆的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x22，x1x26.弦长|MN|1k2|x1x2|54x1x224x1x254424 35.4.(2020 年吉林通化模拟)椭圆 4x29y2144 内有一点P(3,2)，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为 .【答案】23【解析】设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则 4x219y21144,4x229y22144，两式相减得 4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0.又 x1x26，y1y24，y1y2x1x2k，代入解得 k23.