1、4.5.2 用二分法求方程的近似解课标解读课标要求素养要求1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件.2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值，即方程的近似解.1.数学抽象能借助图象体会二分法的思想。2.数学运算会用二分法解决实际问题，会通过二分法求方程的近似解.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 二分法对于在区间a,b 上图象 连续不断 且 f(a)f(b)0 的函数y=f(x) ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.要点二 用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度 ，用二分法求函数y=f(x) 零点x
2、0 的近似值的一般步骤如下：1.确定零点x0 的初始区间a,b ，验证 f(a)f(b)0 .2.求区间(a,b) 的中点c .3.计算f(c) ，并进一步确定零点所在的区间：（1）若f(c)=0 （此时x0=c ） ， 则 c 就是函数的零点；（2）若f(a)f(c)0 （此时x0 (a,c) ），则令b=c ；（3）若f(c)f(b)0 （此时x0 (c,b) ，则令a=c .4.判断是否达到精确度 ：若|a-b| ，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤24.自主思考1.可以用二分法求任意函数的零点的近似值吗？答案：提示不可以，必须是在区间a,b 上图象连续不断，且f(a)f(b)
3、0 的函数才能用二分法求零点的近似值.2.用二分法求方程2x+log2x-4=0 在区间(1,3)内的解，若取区间的中点x0=2 ，求下一个有解的区间.答案：提示设f(x)=2x+log2x-4=0 ，因为f(1)f(2)=(2+0-4)(4+1-4)=-20 ，f(52)=252-52-40 ，由f(3)f(52)0 知根所在的区间为(52,3) .4.用二分法研究函数f(x) 在区间(0,1)内的零点时，计算得f(0)0 ，那么下一次应计算x= 时的函数值.答案： 0.75解析： f(0)0 ， 根据函数零点存在定理，知函数零点落在区间(0.5,1)内，故下一次应计算x=0.75 时的函数
4、值.素养演练数学抽象二分法在实际问题中的应用1.某校办工厂请了30名工人制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10:7，则30名工人如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子）能使任务完成得最快？请利用二分法的知识解答.答案： 设x 名工人制作课桌（1x29,xN* ），则有(30-x) 名工人制作椅子，由题意知一名工人在单位时间内可制作7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需的时间P(x)=1007x ，制作200把椅子所需的时间Q(x)=20010(30-x) .要想任务完成得最快，则应求y=maxP(x),Q(x) 的最小值.函数P(x) 与Q(x
5、) 的图象如图所示，由图可知x0 即为y 取得最小值时x 的值，此时P(x0)=Q(x0) .下面用二分法的知识求x0 的整数值.令f(x)=P(x)-Q(x)=1007x+20x-30 ，则f(1)=1007-20290,f(29)=100297-200 ，所以x0(1,29) ，取中点x1=1+292=15 ，又f(15)-0.380 ，所以x0(1,15) .同理可得x0(8,15),x0(11.5,13.25),x0(12.375,13.25) ，x0(12.375,12.8125),x0(12.375,12.8125),x0(12.375,12.59375) .因为x0N* ，所以x
6、0=12 或x0=13 .x0=12 时，y=maxP(x),Q(x)1.19x0=13 时，y=maxP(x),Q(x)1.181.19 ，所以取x0=13 .即13名工人制作课桌，17名工人制作椅子时，可使任务完成得最快.素养探究：二分法在现实生活中也有很多重要的应用，如：检索问题、称重问题等.在解答时，关键在于分析二分法的思想及其应用的实质，根据实际情况加以判断和总结，巧妙选取区间，从而以最短的时间和最少的精力达到目的，过程中体现了数学抽象的核心素养.迁移应用 1.某公司生产A 种型号的电脑.2013年平均每台A 种型号的电脑的生产成本为5000元，并按纯利润为20% 定出厂价.2014
7、年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股价制，从而使生产成本逐年降低，2017年平均每台A 种型号的电脑出厂价仅是2013年的80% ，实现了纯利润的50% .（1）求2017年每台A 种型号的电脑的生产成本；（2）以2013年每台A 种型号的电脑的生产成本为基数，用二分法求20132017年间平均每年生产成本降低了多少（精确度为0.01）.答案： （1）设2017年每台A 种型号的电脑的生产成本为p元，根据题意，得(1+50%)p=5000(1+20%)80% ，解得p=3200 .故2017年每台A种型号的电脑的生产成本为3200元.（2）设20132017年间平均每年生产成本降低了x(
8、0x1) .根据题意，得5000(1-x)4=3200 .令f(x)=5000(1-x)4-3200 ，求出x 与f(x) 的对应值（f(x) 取整数）如下表：x00.150.30.450.60.750.91f(x)1800-590-2000-2742-3072-3180-3200-3200答案：通过观察，可知f(0)f(0.15)0 ，说明此函数在区间(0,0.15)内有零点x0 .取区间(0,0.15)的中点x1=0.075 ，可算得f(0.075)460 .因为f(0.075)f(0.15)0 ，所以x0(0.075,0.15) .再取区间(0.075,0.15)的中点x2=0.1125 ，可算得f(0.1125)-98 .因为f(0.075)f(0.1125)0 ，所以x0(0.075,0.1125) .同理，可得x0(0.09375,0.1125) ，x0(0.103125,0.1125).因为|0.103125-0.1125|=0.0093750.01 ，所以原方程的近似解可取为0.1125，故平均每年生产成本约降低了11.25% .