1、4.2.2 指数函数的图象和性质课标解读课标要求素养要求1.能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式.逻辑推理能根据指数函数的图象说明指数函数的性质，并解决实际问题.第1课时 指数函数的图象和性质自主学习必备知识教材研习教材原句底数 互为倒数 的两个指数函数的图象关于 y轴 对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.一般地，指数函数的图象和性质如表所示.0a1图像定义域R值域 (0,+)性质过定点 (0,1) ，即x= 0 时，y= 1 减函数增函数自主思考1.
2、若a0 且a1 ，则函数y=ax 与y=(1a)x 的图象具有什么关系?答案：提示两函数的图象关于y 轴对称.2.“指数函数的图象一定在x轴的上方这种说法正确吗?答案：提示正确.名师点睛1.底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象“升”与“降”.当a1 时，指数函数的图象是“上升”的，当0a1 时，指数函数的图象是“下降”的.2.函数y=ax(a0, 且a1) 的图象的变化趋势：当a1 时，底数越大，图象越靠近y 轴；当0a1 时，底数越小，图象越靠近y 轴.3.指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象不经过第三、四象限.4.解简单指数不等式问题的注意点（1）形如axay 的不等式，可借助y=
3、ax 的单调性求解如果a 的值不确定，那么需分0a1 和a1 两种情况进行讨论（2）形如axb 的不等式，可以将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y=ax 的单调性求解（3）形如axbx 的不等式，可借助图象求解5.（1）研究y=af(x) 型函数的单调区间时，要注意a1还是0a1 .当a1 时，y=af(x) 与f(x) 的单调性相同.当0a1 时，y=af(x) 与f(x) 的单调性相反.（2）研究y=f(ax) 型函数的单调区间时，要注意ax 属于f(u) 的增区间还是减区间.互动探究关键能力探究点一 指数函数的图象精讲精练 例 （1）函数y=ax-a(a0, 且a1) 的图象可能
4、是( )A.B.C.D.（2）已知0mn1 ，则指数函数y=mx ，y=nx 的图象为( )A.B.C.D.答案：（1）C（2）C解析： （1）当x=1 时，y=a1-a=0 ，故函数y=ax-a 的图象过定点(1,0)，结合图象可知选C.（2）因为0mn1 ，所以y=mx 与y=nx 都是减函数，故排除A、B.作直线x=1 与两个曲线相交，交点在下面的是函数y=mx 的图象，故选C.解题感悟1.底数对函数y=ax(a0 ，且a1) 图象的影响如图所示（a1a2a3a4 ）.在第一象限中具有“底大图高”的特征.指数函数的图象的变换（1）平移规律:设b0 ，y=ax 的图象上移b个单位y=a2+
5、b 的图象；y=ax 的图象下移b个单位y=a2-b 的图象；y=ax 的图象左移b个单位y=ax+b 的图象；y=ax 的图象右移b个单位y=ax-b 的图象；（2）对称规律y=ax(a0 ，且a1 的图象与y=a-x 的图象关于y 轴对称与y=-ax 的图象关于x 轴对称与y=-a-x 的图象关于坐标原点对称 迁移应用1.指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx 的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为( )A.ab1cd B.ba1dcC.1abcd D.ab1dc答案： B探究点二 指数函数的定义域和值域 精讲精练例 求下列函数的定义域和值域：（1）y=21x-4
6、; （2）y=(23)-|x| .答案：（1）由题意得，x-40 ，x4 ， 函数的定义域为x|x4 .1x-40,21x-41, 函数的值域为y|y0,且y1.（2）由题意得，函数的定义域为R .|x|0,y=(23)-|x|=(32)|x|(32)0=1, 函数的值域为1,+) .解题感悟求函数yaf(x) 的定义域、值域的方法（1）定义域：形如yaf(x) 形式的函数的定义域是使f(x) 有意义的x 取值的集合（2）值域：换元，令tf(x) ;求tf(x) 的定义域xD ;求tf(x) 的值域tM ;利用yax 的单调性求yax ，tM 的值域提醒：（1）通过建立不等式组求定义域时，要注
7、意解集为各不等式解集的交集.（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.迁移应用 1.求下列函数的定义域和值域：（1）y=1-3x; （2）y=(12)x2-2x-3 .答案：（1）要使函数有意义，则1-3x0, 即3x1=30, 因为函数y=3x 在R 上是增函数，所以x0 .故函数y=1-3x 的定义域为(-,0 .因为x0, 所以03x1,所以01-3x1 ，即函数y=1-3x 的值域为0,1) .（2）由题意得，函数的定义域为R .x2-2x-3=(x-1)2-4-4,(12)x2-2x-3(12)-4=16.又(12)x2-2x-30, 函数的值域为(0,16
8、.探究点三 定点问题精讲精练例 函数y=ax-2+7(a0, 且a1) 的图象恒过定点A, 且点A 在幂函数f(x)=x 的图象上，则f(3)= .答案： 27解析：当x-2=0 时，x=2,y=a0+7=8 ， 函数y=ax-2+7 的图象恒过定点A(2,8) .又点A 在幂函数f(x)=x 的图象上，2=8, 解得=3,f(x)=x3,f(3)=33=27 .解题感悟指数函数y=ax （a 0，且a1 ）的图象恒过定点(0,1)，即令指数等于0，求得的点(x,y) 即为其图象恒过的定点.迁移应用1.已知函数f(x)=4+ax-1(a0, 且a1) 的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标是 .
9、答案：(1,5)解析：令x=1,y=4+a0=4+1=5 ，故函数f(x) 的图象恒过定点P(1,5) .即点P 的坐标为(1,5).评价检测素养提升课堂检测1.若函数y=ax-1 的定义域是(-,0 ，则a 的取值范围为( )A.a0 B.a1 C.0a1 D.a1答案：C2.（2021天津和平一中高一期末）函数y=x+a 与y=ax(a0, 且a1) 的大致图象在同一平面直角坐标系中可能为( )A.B.C.D.答案： D3.函数f(x)=(a-1)x-3(a1, 且a2) 的图象过定点 .答案：(0,-2)4.函数y=-2-x 的图象一定过第 象限.答案： 三、四解析： y=-2-x=-(
10、12)x 的图象与y=(12)x 的图象关于x 轴对称，则一定过第三、四象限.5.求下列函数的定义域和值域：（1）y=0.31x-1;（2）y=35x-1 .答案： （1）由x-10 得x1 ，所以函数的定义域为x|x1 .由1x-10 得y1 ，所以函数的值域为y|y0且y1 .（2）由5x-10 得x15 ，所以函数的定义域为x|x15 .由5x-10 ，得y1 ，所以函数的值域为y|y1 .素养演练 数学运算利用换元法求函数的值域1.求函数y=(14)x+(12)x+1 的值域.答案：令t=(12)x,t(0,+),则原函数可化为y=t2+t+1=(t+12)2+34,t(0,+).因为
11、函数y=(t+12)2+34 在(0,+) 上是增函数，所以y(0+12)2+34=1 ，即原函数的值域是(1,+) . 素养探究：求形如y=Aa2x+Bax+C(a0, 且a1) 的函数的值域一般用换元法，令ax=t(t0) ，将原问题转化为二次函数求值域的问题.换元时要注意新元的取值范围，过程中体现了数学运算的核心素养.迁移应用 1.求函数y=4x+2x+1+1 的值域.答案：y=4x+2x+1+1=(2x)2+22x+1,令t=2x,t(0,+),则原函数可化为y=t2+2t+1=(t+1)2,t(0,+),因为函数y=(t+1)2 在(0,+) 上是增函数，所以y(0+1)2=1 ，故原函数的值域为(1,+) .