1、第四章 指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂课标解读课标要求素养要求1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式的性质化简或求值,能进行根式与分数指数幂之间的相互转化.数学运算能用根式的性质化简或求值，能进行根式与分数指数幂之间的相互转化.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 n次方根与根式一般地，如果xn=a ，那么x 叫做a 的 n次方根 ，其中n1 ，且nN* .当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个 正数 ，负数的n 次方根是一个 负数 ，这时，a 的n 次方根用符号na 表示.当n 是偶数时，正数的n 次方根有 两个 ，这两个数互为相反数.这时，正数a
2、 的正的n 次方根用符号na 表示，负的n 次方根用符号-na 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成na(a0) .式子 na 叫做根式，这里n 叫做 根指数 ，a 叫做被开方数.要点二 根式的性质负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作n0= 0 .当n 为奇数时，nan=a ；当n 为偶数时，nan=|a|=a,a0,-a,a0,m,nN*,n1) .于是，在条件a0 ，m ，nN* ，n1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，a-mn=1amn=1nam(a0,m,nN*,n1) .0的正分数指数幂等于 0 ，0
3、的负分数指数幂 没有意义 .要点四 有理数指数幂的运算性质对任意有理数r ，s ，均有下面的运算性质：（1）aras=ar+s(a0,r,sQ) ；（2）(ar)s=ars(a0,r,sQ) ；（3）(ab)r=arbr(a0,b0,rQ) .自主思考1.若一个正数的四次方根为a 和1-2b ，求（2a-4b）2+2 的值.答案：提示 易知a 与1-2b 互为相反数，可得（2a-4b）4+2=6 .2.若式子42x+1 无意义，求实数x 的取值范围.答案：提示 若式子无意义，则2x+10 ，解得x0,b0)和13x(5x2)2(x0) .答案：提示 a56b76 ；x-35 .4.已知实数a
4、，a ，b ，且a0 ，b0 ，判断(ab) 与ab 是否相等.答案：提示 (ab)=(ab-1)=a(b-1)=ab-=a(b)-1=ab .名师点睛 1.nan 与(na)n 的区别（1）nan 是实数an 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受a 的正负限制，但这个式子的值受n 的奇偶限制.其算法是对a 先乘方,再开方(都是n 次)，结果不一定等于a .（2）(na)n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶决定其算法是对a 先开方，后乘方(都是n 次)，结果恒等于a .2.对分数指数幂的理解（1）分数指数幂amn 不能理解为mn 个a 相乘,它是根式的一种新
5、的写法在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已（2）把根式nam 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn 进行约分.3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(-5)23=3(-5)2 有意义，但(-5)34=4(-5)3 就没有意义.互动探究关键能力探究点一 根式的化简与求值精讲精练 例 化简下列各式：（1）5(-2)5+(5-2)5;（2）6(-2)6+(62)6;（3）x2-2x+1-x2+6x+9(-3x3) .答案：（1）原式=(-2)+(-2)=-4.（2）原式=|-2|+2=2+2=4 .（3）原式=(x-1)2-(x+3)2=|x-
6、1|-|x+3| .-3x3 ，-4x-12,0x+36 .当-4x-10 ，即-3x1 时，|x-1|-|x+3|=1-x-(x+3)=-2x-2 ;当0x-12 ，即1x3 时，|x-1|-|x+3|=x-1-(x+3)=-4 .x2-2x+1-x2+6x+9=-2x-2(-3x1),-4(1x0)=aa12=a32=a34 .解题感悟 根式与分数指数幂互化的规律（1）根指数化为化为 分数指数幂的分母,被开方数（式）的指数 化为化为 分数指数幂的分子.（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用实数指数幂的运算性质解题.迁移应用 1.用分数指数幂的形式表示下列各式（式中
7、字母都是正数）：（1）13a2 ；（2）a33a2 ；（3）3b-a2 .答案： （1）13a2=1a23=a-23 .（2）a33a2=a3a23=a3+23=a113 .（3）3b-a2=(b-a2)13=b13(-1a2)13=b13(-a-2)13=-b13a-23 .探究点三 有理数指数幂的运算精讲精练 例 计算或化简下列各式：（1）(323)6-4(1649)-12-4280.25-(-2.015)0 ；（2）a3b23ab2(a14b12)43ba(a0,b0) .答案： （1）原式=(213312)6-4(47)2-12-214(23)14-1=21363126-4(47)2(
8、-12)-(223)14-1=2233-4(47)-1-(24)14-1=427-474-2-1=98 .（2）原式=a3b2(ab2)1312(a14b12)4(ba)13=a312b212a1312b21312a144b124b13a-13=a53b43a23b73=ab-1 .解题感悟 指数幂运算的常用技巧（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，要尽可能用幂的形式来表示，便于运用指数幂的运算性质.迁移应用 1.计算或化简下列各式：（1）(8)-23(3102)92105;（2）(-
9、8)23(12)-2327-1.答案： （1）原式=(232)-23(1023)921052=2-110310-52=2-11012=102 .（2）原式=(-2)323(12)12-2(33)-13=4213=83 .评价检测素养提升课堂检测1.若4a-2+(a-4)0 有意义,则a 的取值范围是( )A.2,+ )B.2,4)(4,+)C.(-,2)(2,+) D.(-,4)(4,+)答案： B2.将532 写成根式，正确的是( )A.352 B.35C.532 D.53答案： D3.若m3 ，则(m-3)2= .答案： 3-m解析： 因为m3 ，所以(m-3)2=|m-3|=3-m .4
10、.（2020宁波北仑中学高一期中）（1）计算：0.001-13-(-3)0+1634-(33)6;（2）若a,b(0,+) ，化简：a-32bab2(3a)2 .答案： （1）原式=100013-1+(1614)3-9=10-1+8-9=8 .（2）原式=a-32ba12b3a2=ab23 .5.已知ab0n1nN* ，化简n(a-b)n+n(a+b)n .答案： ab0,a-b0,a+b0 .当n 是奇数时，原式=(a-b)+(a+b)=2a ;当n 是偶数时，原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a .n(a-b)n+n(a+b)n=2a,n为奇数,-2a,n为偶数.
11、素养演练 数学运算根式的化简或求值问题1.设-2x2 ，化简:x2-2x+1-x2+4x+4 .答案： 原式=(x-1)2-(x+2)2=|x-1|-|x+2| ，-2x2 ， 当-2x1 时，原式=-(x-1)-(x+2)=-2x-1 ；当1x2 时，原式=x-1-(x+2)=-3 . 原式=-2x-1,-2x1,-3,1x2.素养探究：解决根式的化简或求值问题,要理解根式的意义，注意其限制条件.重点考查学生的数学运算的核心素养.迁移应用1. 当2-x 有意义时，x2-4x+4-x2-6x+9= ( )A.2x-5 B.-2x-1C.-1D.5-2x答案： C解析：因为2-x 有意义，所以2-x0 ，即x2 ，所以原式=(x-2)2-(x-3)2=(2-x)-(3-x)=-1 .故选C.
