1、3.1数学归纳法原理3.1.1数学归纳法原理3.1.2数学归纳法应用举例1.理解数学归纳法的原理及其使用范围.2.会利用数学归纳法证明一些简单问题.基础初探教材整理1归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，归纳推理，得当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.【解析】依题意，先求函数结果的分母中x项的系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知a n2n1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项
2、bn2n，所以当n2时，fn(x)f(fn1(x).【答案】教材整理2数学归纳法对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性：(1)证明当n取初始值n0(例如n00，n01等)时命题成立.(2)假设当nk(k为自然数，kn0)时命题正确，证明当nk1时命题也正确.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法叫做数学归纳法.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型数学归纳法的概念用数学归纳法证明：1aa2an1(a1，nN)，在验证n1成立
3、时，左边计算的结果是() 【导学号：38000054】A.1B.1aC.1aa2D.1aa2a3【精彩点拨】注意左端特征，共有n2项，首项为1，最后一项为an1.【自主解答】实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an1，所以n1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.【答案】C1.验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2.递推是关键：正确分析由nk到nk1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.再练一题1.下列四个判断中，正确的是()A.式子1kk2kn(nN)，当n1时为1B.式子1kk2kn1(nN)，当n1时为1k
4、C.式子(nN)，当n1时为1D.设f(n)(nN)，则f(k1)f(k)【解析】对于选项A，n1时，式子应为1k；选项B中，n1时，式子应为1；选项D中，f(k1)f(k).【答案】C用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：1(nN).【精彩点拨】要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同.因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并.【自主解答】当n1时，左边1右边，所以等式成立.假设nk(k1，kN)时等式成立，即1.则当nk1时，左边1右边，所以，nk1时等式成立.由知，等式对任意nN成立.1.用数学归纳法证明恒等式的关键
5、在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.2.利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节.再练一题2.用数学归纳法证明：(其中nN).【证明】(1)当n1时，等式左边，等式右边，等式成立.(2)假设nk(k1，kN)时等式成立，即成立，那么当nk1时，即nk1时等式成立.由(1)(2)可知，对任意nN等式均成立.数学归纳法证明
6、整除问题求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN.【精彩点拨】对于多项式A，B，如果ABC，C也是多项式，那么A能被B整除.若A，B都能被C整除，则AB，AB也能被C整除.【自主解答】(1)当n1时，a11(a1)21-1a2a1，命题显然成立.(2)假设nk(kN，且k1)时，ak+1(a1)2k-1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k+1aak+1(a1)2(a1)2k-1aak+1(a1)2k-1(a1)2(a1)2k-1a(a1)2k-1aak+1(a1)2k-1(a2a1)(a1)2k-1.由归纳假设，得上式中的两项均能被a2a1整除，故nk1时命题成立.由(1
7、)(2)知，对nN，命题成立.利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这就往往要涉及到“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.再练一题3.求证：n3(n1)3(n2)3能被9整除.【证明】(1)当n1时，13(11)3(12)336,36能被9整除，命题成立.(2)假设nk(k1，kN)时，命题成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除.由nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)，由归纳假设知，上式都能被9整除，故nk1时，命题也成立.由
8、(1)和(2)可知，对nN命题成立.证明几何命题平面内有n(n2，nN)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论.【精彩点拨】(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明：【自主解答】当n2时，f(2)1 ；当n3时，f(3)3；当n4时，f(4)6.因此猜想f(n)(n2，nN)，下面利用数学归纳法证明：(1)当n2时，两条相交直线有一个交点，又f(2)2(21)1，n2时，命题成立.(2)假设当nk(k2且kN)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(
9、k)k(k1).当nk1时，任何其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为f(k).由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，lk的交点共有k个.f(k1)f(k)kk.当nk1时，命题成立.由(1)(2)可知，命题对一切nN且n2时成立.1.从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系.2.利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由nk到nk1时几何图形的变化规律.并结合图形直观分析，要弄清原因.再练一题4.在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明.【解】设分割成线
10、段或射线的条数为f(n).则f(2)4，f(3)9，f(4)16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)n2(n2)，下面利用数学归纳法证明.(1)当n2时，显然成立.(2)假设当nk(k2，且kN)时，结论成立，f(k)k2，则当nk1时，设有l1，l2，lk，lk1共k1条直线满足题设条件.不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，lk，lk1互相分割成f(k)k2条射线或线段.直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k1条射线或线段.k条直线l2，l3，lk1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条.故f(k1)
11、f(k)k1kk22k1(k1)2.当nk1时，结论正确.由(1)(2)可知，上述结论对一切n2均成立.探究共研型对数学归纳法的理解探究1应用数学归纳法时的常见问题有哪些？【提示】第一步中的验证，n取的第一个值n0不一定是1，n0指的是适合命题的第一个自然数不是一定从1开始，有时需验证n2等.对nk1时式子的项数以及nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.“假设nk时命题成立 ，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范.探究2如何理解归纳假设在证明中的作用？【提示】归纳假设在证
12、明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形.在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明.否则，就不是数学归纳法.探究3为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢？【提示】这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时成立，这样假设就有了存在的基础.假设nk成立，根据假设和合理推证，证明出nk1也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了n01成立，又证明了nk1也成立.这就一定有n2成立，n2成立，则n3也成立；n3成立，则n4也成立.如此反复，以至无穷.对所有nn0的整数就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇.用数学归纳
13、法证明：(n2，nN). 【导学号：38000055】【精彩点拨】因n2，nN，第一步要验证n2.【自主解答】(1)当n2时，左边1，右边，等式成立.(2)假设当nk(k2，kN)时，等式成立，即(k2，kN).当nk1时，.当nk1时，等式成立.根据(1)和(2)知，对n2，nN时，等式成立.用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，缺了第一步递推失去基础；缺了第二步递推失去了依据，因此无法递推下去.构建体系数学归纳法1.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第n层和第n1层花盆总数分别是f(n)和f(n1)，则f(n)与f(n1)的关
14、系为()A.f(n1)f(n)n1B.f(n1)f(n)nC.f(n1)f(n)2nD.f(n1)f(n)1【答案】A2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A.1B.2C.3D.0【解析】边数最少的凸n边形是三角形.【答案】C3.用数学归纳法证明等式“135(2n1)n2”时，从k到k1左边需增加的代数式为()A.2k2B.2k1C.2kD.2k1【解析】等式“135(2n1)n2”中，当nk时，等式的左边135(2k1)，当nk1时，等式的左边135(2k1)2(k1)1135(2k1)(2k1)，从k到k1左边需增加的代数式为2k1.【答案
15、】D4.用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xnyn能被xy整除”时，在归纳假设中，假设当nk时命题成立，那么下一步应证明n_时命题也成立.【解析】两个奇数之间相差2，nk2.【答案】k25.证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1). 【导学号：38000056】【证明】(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立.(2)假设nk(k1，kN)时，等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1).当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时等式也成立.综合(1)(2)可知，等式对任何nN都成立.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)
