1、河北省衡水中学2021届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一选择题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A，再根据指数函数的值域求得集合B，利用集合的交集运算可得选项.【详解】因为，又时，所以，所以，故选：D.2. 已知复数满足：(其中为虚数单位)，复数的虚部等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出，由此能求出复数的虚部【详解】复数满足：(其中为虚数单位)，复数的虚部等于，故选C.【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的
2、合理运用3. 命题若为第一象限角，则；命题：函数有两个零点，则( )A. 为真命题B. 为真命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的性质，对于命题可以举出反例，可得其为假，对于命题，根据零点存在定理可得其至少有三个零点，即为假，结合复合命题的真假性可得结果.【详解】对于命题，当取第一象限角时，显然不成立，故为假命题，对于命题，函数在上有一个零点，又，函数至少有三个零点，故为假，由复合命题的真值表可得为真命题，故选C.【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假，考查三角函数的性质，零点存在定理的应用，属于中档题若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命
3、题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可4. 正项等比数列中的是函数的极值点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由，则，因为是函数的极值点，所以，又，所以，所以，故选A考点：对比数列与函数的综合应用【方法点晴】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比中项公式、利用导数研究函数的极值点和对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及知识点的灵活应用，试题涉及知识点多，应用灵活，属于中档试题，其中解答中根据函数极值点的概念，得到是解答关键5. O
4、是正方形ABCD的中心若，其中，R，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正方形几何特点，结合向量的线性运算，用表示目标向量，即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：，所以1，因此2.故选：.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属基础题.6. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：bc，最后判断出三角形的形状【详解】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2a2+bc则：
5、，由于：0A，故：A由于：sinBsinCsin2A，利用正弦定理得：bca2，所以：b2+c22bc0，故：bc，所以：ABC为等边三角形故选C【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型7. 如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，可得，结合范围可得，化简，利用点B的坐标即可得解.【详解】由，得.根据题意可知)，所以，可知，.所以.故选C.【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式，属于中档题.8. 已知
6、公比不为1的等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】成等差数列，即，解得或（舍去），故选C.9. 已知函数，若函数与图象的交点为，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合函数的解析式可得，求出的对称轴为，根据两图象的对称关系分为为奇数和偶数即可得出答案【详解】，的图象关于直线对称，又的图象关于直线对称，当为偶数时，两图象的交点两两关于直线对称，当为奇数时，两图象的交点有个两两对称，另一个交点在对称轴上，故选A【点睛】本题函数考查了函数的图象对称关系，分类讨论的思想，解题的关键是根据函数的性质得到，属于中档题10. 将函数的图象
7、向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知求得，再由已知得函数的最小正周期为，求得，结合对任意恒成立列关于的不等式组求解【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度，得，又的图象与直线相邻两个交点的距离为，得，即，当时，解得，的取值范围是，故选B【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换与性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题11. 已知函数，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，则求的取
8、值范围( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件转化为：不等式恒成立，分离参数，然后构造函数利用导数，求解函数的最值即可【详解】函数，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，当时，恒成立，化为：，即，；令，（），令，函数在单调递增，时，函数单调减函数，时，函数单调增函数，所以，故选C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值以及恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.12. 已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则
9、的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求，再利用导数求最小值，最后解不等式的结果.【详解】因为，所以因为，因此，当时；当时；因此最小值为1，从而，选A.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题.二填空题13. 平面向量与的夹角为，则等于_【答案】【解析】【分析】根据求出 ，利用，即得结果.【详解】因为，与的夹角为，故，则，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积以及模的计算，属于基础题.14. 在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若，sin B，SABC，则b的值为_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将角
10、化边，可得等量关系；再利用面积公式，再得的另一个等量关系，据此求得由sin求得cos，利用余弦定理即可求得.【详解】由，可得，故ac，由SABCacsin B且sin B得ac5，联立，得a5，且c2.由sin B且B为锐角知cos B，由余弦定理知b225425214，b.故答案为：.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及利用正弦定理实现边角互化，属综合基础题.15. 已知数列的前项和为，且满足：，则_.【答案】【解析】【分析】由与的递推式可证得是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和公式运算即可.【详解】因为，所以两式相减，得，即，又当时，所以，满足，所以是以1为首项
11、，2为公比的等比数列，所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题主要考查了与的关系，熟练掌握是解题关键.16. 已知函数，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出函数关于直线的对称函数，令与的图象有交点得出的范围即可【详解】关于直线对称直线为，直线与在上有交点，作出与的函数图象，如图所示：若直线经过点，则，若直线与相切，设切点为，则，解得，故答案为.【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题三解答题17. 已知等差数列的前项和为，且满足， .（1）求的通项公式；（2）求的值.【答案】（1）（
12、2）【解析】【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】(1)设等差数列的公差为，由，得，则有，所以，故 .(2)由(1)知，则，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18. 在中, 内角,的对边分别为,且.（1）求角的大小；（2）若的面积为,且,求.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理、三
13、角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得的值，从而求得角的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到的关系式，然后根据三角形面积公式求得的值，从而求得的值试题解析：（1）由及正弦定理可得,又因为.（2）,又由余弦定理得,代入式得,由余弦定理,得.考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式19. 已知数列中，.（1）求的通项公式；（2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将，变形为，再利用等比数列的定义求解.（2）由（1）得，然后利用错位相减法求得，将不等式对一切恒成
14、立，转化为，对一切恒成立，分为偶数和奇数讨论求解.【详解】（1）由，得，所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，所以，即.（2），两式相减得:，因不等式对一切恒成立，所以，对一切恒成立，因为单调递增，若为偶数，则，对一切恒成立，；若为奇数，则，对一切恒成立，综上：.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过
15、程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解20. 已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）首先利用向量的数量积和三角形的面积公式求出结果，进一步建立等量关系求出结果；（2）利用三角形的面积公式和正弦定理建立方程组，进一步求出结果【详解】，得，得，即，所以，又，故，.(2)，所以，得，由(1)得，所以.在中
16、，由正弦定理，得，即，联立，解得，则，所以.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，方程组的解法，属于基础题型21. 已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)设，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，； （2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分为和两种情形，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于对任意的，恒有成立，即，根据，分离，从而求出的范围即可【详解】(1)函数定义域为，且，令，得，当时，函数在定义域单调递减；当时，由，得；由
17、，得或，所以函数的单调递增区间为，递减区间为，.综上所述，当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，.(2)由(1)知当时，函数在区间单调递减，所以当时，.问题等价于：对任意的，恒有成立，即.因为，则，设，则当时，取得最小值，所以，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题22. 已知函数(其中，是自然对数的底数).(1)若，当时，试比较与2的大小；(2)若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：求的导数，利用判定的单调性，从而求出的单调区间，可比较与的大小；先求导数，根据题意知是的两个根，令，利用导数得到函数的单调区间，继而得到的取值范围，知，则，又由，即可得到解析：（1）当时，则，令，由于故，于是在为增函数，所以，即在恒成立，从而在为增函数，故（2）函数有两个极值点，则是的两个根，即方程有两个根，设，则，当时，函数单调递增且；当时，函数单调递增且；当时，函数单调递增且；要使方程有两个根，只需，如图所示故实数的取值范围是又由上可知函数的两个极值点满足，由得. 由于，故，所以