1、核心知识回顾一、计数原理1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法3排列数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示；(2)排列数公式An(n1)(n2)(nm1).4组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符合C表示(2)组
2、合数公式C组合数性质：CC.CCC.5二项式定理(1)二项式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn叫做二项式定理(2)相关概念公式右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式；各项的系数C叫做二项式系数；展开式中的Cankbk叫做二项展开式的通项，记作Tk1，它表示展开式的第k1项6杨辉三角(1)杨辉三角的特点在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.(2)各二项式系数的和CCCC2n；CCCCCC2n1.二、随机变量及其分布1离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散
3、型随机变量的分布列的定义及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格形式表示为：Xx1x2xixnPp1p2pipn称上表为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列用等式可表示为P(Xxi)pi，i1,2，n，离散型随机变量分布列还可以用图象表示(2)离散型随机变量分布列的性质：()pi0，i1,2，n；()i1.3特殊分布(1)两点分布X01P1pp像上面这样的分布列叫做两点分布如果随机变量X的分布列为两点分布，就称X服从两点分布，并称Pp(x1)为成功概率(2)超几何分布一般地，在含有M件
4、次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，即X01mP其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布4条件概率(1)条件概率的定义一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率(2)条件概率的性质任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(B|A)1.如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)5事件的相互独立性(1)相互独立事件的概念设A，B为两个事件，若P(AB)P(A)
5、P(B)，则称事件A与事件B相互独立(2)相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立6独立重复试验与二项分布(1)n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验(2)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率7离散型随机变量的均值与方差(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)ipi为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散
6、型随机变量取值的平均水平则把D(X)(xiE(X)2pi叫做随机变量X的方差，D(X)的算术平方根叫做随机变量X的标准差，随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度(2)两点分布与二项分布的均值若随机变量X服从两点分布，则E(X)p；D(X)p(1p)；若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)(3)性质若YaXb，其中a，b为常数，则E(Y)E(aXb)aE(X)D(aXb)a2D(X)8正态分布(1)定义一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(，
7、2)如果随机变量X服从正态分布，则记为N(，2)(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率及3原则P(X)0.6827；P(2X2)0.9545；P(3X3)0.9973.三、统计案例1回归分析(1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法(2)回归直线方程方程x是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数，其最小二乘估计分别为：其中，(，)称为样本点的中心2独立性检验(1)22列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)为y1y2
8、总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd(2)K2，其中nabcd为样本容量易错易混辨析1将3个不同的小球放入4个盒子中，则有不同的放法种数有34个()提示本题是一个分步计数问题对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，跟据分步乘法计数原理知共有44464种不同的放法2从甲、乙等6人中选出3名代表，甲一定当选，则有20种选法()提示因为甲一定当选，所以只要从剩下的5人中选出2人即可，因此有C10种选法3三个人踢球，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，球又回给甲，则不同的传递方式共有10种()提示可利用树状图进行求解
9、式子A中mn.()提示当mn时，(nm)！0！1，即求n个元素的全排列数5由0,1,2,3这4个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有343A168(个)()提示首位不含0，有3种选法，其余3位都有4种选法，共有343192个四位数；其中没有重复数字的有332118个，故有重复数字的四位数共有19218174个63名医生和6名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法有540种()7(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()8在的二项展开式中，常数项为160.()9在(1x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项()提示由通项公式得Tr1C(
10、1)rxr故第r1项的系数为(1)rC.故当r4时，即第5项的系数最大10若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.()提示当x0时，a01，当x1时a7a6a5a1a027，a7a6a5a1271129.11若的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x4的系数为7，则实数a.()12离散型随机变量是指某一区间内的任意值()提示随机变量的取值都能一一列举出来13在区间0,10内任意一个实数与它四舍五入取整后的整数的差值是离散型随机变量()提示可以取区间0,10内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量14离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应
11、概率都相等()提示因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件15在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()提示由分布列的性质可知，该说法正确16超几何分布的模型是不放回抽样()17超几何分布的总体里可以有两类或三类特点()提示超几何分布的模型特征是“由较明显的两部分组成”18若事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生()19小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是PC.()提示所求概率应为P.20试验之前可以判断离散型随机变量的所有值()提示因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能
12、确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确21必然事件与任何一个事件相互独立()提示必然事件的发生与任何一个事件的发生，没有影响22二项分布中随机变量X的取值是小于等于n的所有正整数()提示二项分布中随机变量X的取值是小于等于n的所有自然数23若a是常数，则D(a)0.()24已知Y3X2，且D(X)10，则D(Y)92.()提示D(X)10，且Y3X2D(Y)D(3X2)9D(X)90.25离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述()提示因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述26正态曲线是单
13、峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的()提示正态曲线与x轴围成的面积是1，它不随和变化而变化27若K2的观测值k6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病()提示K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故此说法不正确28如果两个变量x与y之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据(xi，yi)(i1,2，n)不能写出一个线性方程()提示任何一组(xi，yi)(i1,2，n)都能写出一个线性方程，只是有无意义的问题，因此这个说法错误，线性关系是可以检验的，可以
14、画出带状散点图，可以写出一个拟合效果最好的线性方程29利用线性回归方程求出的值是准确值()提示因为利用线性回归方程求出的值为估计值，而不是真实值30变量x与y之间的回归直线方程表示x与y之间的真实关系形式()提示因为变量x与y之间的线性回归直线方程仅表示x与y之间近似的线性关系，x与y之间满足ybxae，其中e为随机误差高考真题感悟1(2017全国卷，6)(1x)6展开式中x2的系数为() 【导学号：95032268】A15B20C30 D35C因为(1x)6的通项为Cxr，所以(1x)6展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230，所以(1x)6展开式中x2的系数为30.故选C.
15、2(2017全国卷，6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种 B18种C24种 D36种D由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CCA36(种)，或列式为CCC3236(种)故选D.3(2017全国卷，4)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40C40 D80C因为x3y3x(x2y3)，其系数为C2240，x3y3y(x3y2)，其系数为C2380.所以x3y3的系数为804040.故选C.4(2017浙江卷，8)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1,
16、2.若0p1p2，则() 【导学号：95032269】AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)A由题意可知i(i1,2)服从两点分布，E(1)p1，E(2)p2，D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)又0p1p2，E(1)E(2)把方差看作函数yx(1x)，根据012知，D(1)D(2)故选A.5(2017全国卷，13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX_.1.96由题意得XB(100,0.02)，DX1000.02(10.02)1.96.6(
17、2016全国卷，14)(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案) 【导学号：95032270】10利用二项展开式的通项公式求解(2x)5展开式的通项为Tr1C(2x)5r()r25rCx5.令53，得r4.故x3的系数为254C2C10.7(2017全国卷，19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检
18、零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得xi9.97，s)0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2，16.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精
19、确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(36.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为5052.35(kg)9(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果
20、最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.因
21、此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500.当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(n300)4n1 2002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n.因此EY2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当200n300时，若最高气温不低于20，则Y6n4n2n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n，因此EY2n(0.40.4)(8002n)0.2160
22、1.2n.所以n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元10(2016全国卷，19)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5
23、，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？ 【导学号：95032271】解(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202
24、122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040；当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知当n19时所需费用的期望值小于当n20时所需费用的期望值，故应选n19.11(2016全国卷，18)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的
25、投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值解(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.10.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.