1、章末知识整合1证明共面问题证明共面问题，一般有两种方法一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合2证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上3证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题例1 正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1，O，M三点共线证明：如图，AA1CC1，
2、AA1，CC1确定一个平面A1C，显然有A1C平面A1C，又A1C平面BC1DO，ACBDM，点C1，O，M三点在平面A1C内，也在平面BC1D内，从而C1，O，M三点都在这两个平面的交线上，即C1，O，M三点共线跟踪训练1如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点 证明：FE，HG，DC三线共点证明：连接C1B，由题意知，HC1綊EB，四边形HC1BE是平行四边形HEC1B.又C1GGC，CFBF，故GF綊C1B.GFHE，且GFHE.HG与EF相交设交点为K，则KHG，又HG平面D1C1CD，K平面D1C1CD.KEF，EF平面ABC
3、D.K平面ABCD.平面D1C1CD平面ABCDDC.KDC.FE，HG，DC三线共点2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中 ，E是CC1的中点，画出平面AED1与正方体有关各面的交线 解析：如图所示，设D1E与DC的延长线交于G，连接AG，设AG与BC交于F，连接EF，则AD1，D1E，EF和AF为所求作的交线(注：画截面与正方体有关的交线，必须作出它与有关棱的交点，根据“同一平面内两直线不平行必相交”和公理1去画直线确定交点)1空间中两直线的位置关系2空间中直线与平面的位置关系3两个平面的位置关系求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交已知：直线ab，a平面P
4、，求证：直线b与平面相交证明：ab，a和b确定平面设为.aP，平面和平面相交于过点P的直线，设为l.在平面内l与两条直线a，b中的一条直线a相交，l必与b相交于Q，即blQ，又因为b不在平面内(若b在内，则ab，a，与a与相交矛盾)，故直线b和平面相交跟踪训练3已知直线a与b不平行，且a平面，b平面，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论解析：平面与平面相交下面用反证法证明：假设与不相交，则.a，a.又b，ab，这和a与b不平行矛盾假设不成立，故平面与平面一定相交4求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线那么这条直线在此平面内已知：l，P，Pm，ml，求证：m.证明：设l与
5、P确定平面为，且m，l，lm.又lm，m，m都经过点P，m，m重合，m.1空间中的平行关系有三类：一是线线平行，由平行线的传递性和平面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行，根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行由面面平行可以得出线面平行和线线平行，平行关系的转化是：2空间中的垂直关系有三类：一是线线垂直，空间两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情形，由两直线所
6、成的角是直角或者由线面垂直推出线线垂直二是线面垂直，利用线面垂直的定义、判定定理、平面与平面垂直的性质定理来判定线面垂直三是面面垂直，利用直二面角和面面垂直的判定定理判定两平面垂直垂直关系的转化：如图所示，AD平面ABC，CE平面ABC，ACADAB1，BC，凸多面体ABCED的体积为，F为BC的中点 (1)求证：AF平面BDE；(2)求证：平面BDE平面BCE.证明：(1)AD平面ABC，CE平面ABC，四边形ACED为梯形，且平面ABC平面ACED，BC2AC2AB2，ABAC，平面ABC平面ACEDAC，AB平面ACED，即AB为四棱锥BACED的高，VBACEDSACEDAB(1CE)
7、11，CE2，取BE的中点G，连接GF，GD，GF为三角形BCE的中位线，GFECDA，GFCEDA，四边形GFAD为平行四边形，AFGD，又GD平面BDE，AF平面BDE，AF平面BDE.(2)ABAC，F为BC的中点，AFBC，又GFAF，BCGFF，AF平面BCE，AFGD，GD平面BCE，又GD平面BDE，平面BDE平面BCE.跟踪训练5如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1C1B1D1，E，F分别是AB，BC的中点求证：(1)EF平面A1BC1；(2)平面D1DBB1平面A1BC1.证明：(1)连接AC，则ACA1C1，而E，F分别是AB，BC的中点，所以EFAC，则EFA
8、1C1，又EF平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，故EF平面A1BC1.(2)因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1A1C1，又A1C1B1D1，BB1B1D1B1，则A1C1平面D1DBB1，又A1C1平面A1BC1，所以平面D1DBB1平面A1BC1.6某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点(1)根据三视图，画出该几何体的直观图(2)在直观图中，证明：PD平面AGC；证明：平面PBD平面AGC.(1)解析：该几何体的直观图如图甲所示(2)证明：如图乙，连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OGPD.又OG平面AG
9、C，PD平面AGC，所以PD平面AGC.连接PO，由三视图可得到，PO平面ABCD，所以AOPO.又AOBO，BOPOO，所以AO平面PBD.因为AO平面AGC，所以平面PBD平面AGC.7如图1，在等腰直角三角形ABC中，A90，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE，O为BC的中点，将ABC沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥ABCDE，其中AO.(1)求证：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值解析：因为在等腰直角三角形ABC中，BC45，CDBE，COBO3.所以在COD中，OD，同理得OE.因为ADADAEAE2，AO，所以AO2OD2AD2，AO2OE2AE2，所以AODAOE90.所以AOOD，AOOE.又ODOEO，所以AO平面BCDE.(2)过点O作OFCD的延长线于点F，连接AF.因为AO平面BCDE，根据三垂线定理，有AFCD，所以AFO为二面角ACDB的平面角在RtCOF中，OFCOcos 45，在RtAOF中，AF.所以cos AFO，所以二面角ACDB的平面角的余弦值为.