1、2.1.3方程组的解集学习目标1.理解消元法解方程组的思想,会用消元法解二元一次方程组,三元一次方程组.提高数学抽象、数学运算的学科素养.2.掌握解三元一次方程组过程中三元化二元或一元的基本思路,进一步体会“消元”思想.提高直观想象的学科素养.3.理解消元法解二元二次方程组的基本思路,会解简单的二元二次方程组.在特定语境中能正确列出方程组.提高数学运算的核心素养.4.通过求方程组的解集,让学生逐步体会数学学习严谨的学习态度和周密的思考方法.培养学生逻辑推理的学科素养.重点:1.用消元法解方程组.2.判断方程组是有限集还是无限集.3.解读古代数学语境,能正确列出方程组.难点:在应用题中正确解读语
2、境,能够列出题目要求的方程组.自主预习一、新知探究1.方程组的解集一般地,将多个方程联立,就能得到方程组,方程组中,由每个方程的解集得到的称为这个方程组的解集.2.求方程组解集的依据是等式的性质等,常用的方法是.3.二元一(二)次方程组解集的表示方法为,三元一次方程组解集的表示方法为.二、初显身手1.用代入法解方程组y=1-x,x-2y=4时,代入正确的是()A.x-2-x=4B.x-2-2x=4C.x-2+2x=4D.x-2+x=42.二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8的解集为()A.(x,y)|(2,3)B.(x,y)|(3,2)C.(x,y)|(-2,3)D.(x,y)|(-2,-
3、3)3.已知A=(x,y)|x+y=5,A=(x,y)|2x-y=4,则AB=.课堂探究课堂引入:李阳求得方程组2x+y=,2x-y=12的解集为(x,y)|(5,),由于不小心滴了墨水,刚好遮住两个数和,你能帮他找回这两个数吗?【尝试与发现】将x-y=1看成含有两个未知数x,y的方程:(1)判断(x,y)=(3,2)指的是x=3,y=2,下同是否是这个方程的解;(2)判断这个方程的解集是有限集还是无限集.合作探究一:思考两分钟,然后小组讨论达成共识,准备展示:总结:概念形成:将方程x+y=3与x-y=1形成一个方程组,解这个方程组,想一想用到的方法是什么?x-y=1,x+y=3.一般地,将多
4、个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.思考:二元一次方程组是否一定有解呢?通过下述题目给出答案:(1)x-y=-1,x-y=2;(2)2x-y=-1,4x-2y=-2.试一试:你能解决课堂引入的题目了吗?有关方程组的求解问题在古代九章算术中已经进行了深入的研究.请看:九章算术第八章“方程”问题一:今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.请根据题意完成横线上内容:设上禾实一秉x斗,中禾实一秉y斗,下禾实一秉z斗,根据题意可列方程组3
5、x+2y+z=39,(1),(2),由此可解得这个方程组的解集为(3).总结:类比上面研究二元一次方程组的学习方法思考下面“尝试与发现”【尝试与发现】设方程组x-y+z=1,x+y-3z=5的解集为A.判断(x,y,z)=(3,2,0)和(x,y,z)=(4,4,1)是否是集合A中的元素;判断A是一个有限集还是一个无限集.合作探究二:思考两分钟,然后小组讨论达成共识,准备展示:总结:例1求方程组x2+y2=5,y=x+1的解集.变式训练:求下列方程组的解集.x+y=7,xy=12.总结:例2求方程组x2+y2=2,(x-1)2+(y-2)2=1的解集.总结:评价反馈1.求下列方程组的解集:(1
6、)2x+y=0,x2-2y=14;(2)2(x-3y)+1=0,3x-12-5y=3.2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(-1,2),(2,8),(5,158),求这个二次函数的解析式.课堂小结布置作业层次一:课后练习题层次二:练习册参考答案自主预习一、新知探究1.交集2.消元法3.(x,y)(x,y,z)二、初显身手1.C2.A3.(3,2)课堂探究课堂引入略概念形成-得:2y=2,y=1,将代入得:x=2.所以,解集为(x,y)|(2,1).思考:(1)(2)(x,y)|2x-y=-1,xR,yR九章算术(1)2x+3y+z=34;(2)x+2y+3z=26;(3)(x,y,z
7、)374,174,114.例1解:将代入,整理得x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,利用可知,x=1时,y=2;x=-2时,y=-1,所以原方程组的解集为(1,2),(-2,-1).变式训练解:x+y=7,xy=12,由得:y=7-x,将代入得:x(7-x)=12,即:x2-7x+12=0,x=3或x=4,当x=3时,y=4.当x=4时,y=3.所以,解集为(3,4),(4,3).例2解:由得:x2+y2-2x-4y=-4,-得:x+2y=3,即x=3-2y,将代入得:5y2-12y+7=0,所以y=1或y=75.当y=1时,x=1;当y=75时,x=15.所以解集为(1,1),15,75
8、.评价反馈:1.(1)(-2+32,4-62),(-2-32,4+62)(2)-26,-1722.y=8x2-6x-12学习目标1.会用消元法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.3.能够根据具体的数量关系,列出方程组解决简单的实际问题,尤其与中国古代数学史有关的数学问题.自主预习1.我们以前是利用什么方法解二元一次方程组的?2.方程的解与方程的解集的区别与联系是什么?3.(1)求方程组x+y=4,2x-3y=3的解.(2)求一元二次方程x2+x-2=0的解集.课堂探究一、导入新课问题1:将x-y=1看成含有两个未知数x,y的方程:(1)判断(x,y)=(3,2)指的
9、是x=3,y=2,下同是否是这个方程的解;(2)判断这个方程的解集是有限集还是无限集.问题2:设集合A=(x,y)|x-y=1,B=(x,y)|x+y=3,AB=.方程组x-y=1,x+y=3的解集如何表示?1.方程组的解集一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的称为这个方程组的解集.2.求方程组解的过程要不断应用等式的性质,常用的方法是 ,一般可以分为 消元法和消元法.3.二元一次方程组解集的表示方法为,三元一次方程组解集的表示方法为.二、典型例题(一)三元一次方程组的解法例1求下列方程组的解集.2x+y+3z=11,3x+2y-2z=11,4x-3y-2z=
10、4.问题:同学们想一下,求解三元一次方程组的一般方法是怎样的?归纳小结:变式训练:设方程组x-y+z=1,x+y-3z=5的解集为集合A.判断(x,y,z)=(3,2,0)和(x,y,z)=(4,4,1)是否为集合A中的元素;判断A是一个有限集还是无限集.如何表示方程组的解集?(提示:可以将其中一个变量当作常数)(二)二元二次方程组的解法例2求下列方程组的解集(1)x2+y2=5,y=x+1;(2)x2+y2=2,(x-1)2+(y-2)2=1.问题1:现在请同学们想一下,求解二元二次方程组的一般方法是怎样的?归纳小结:变式训练:求方程组x+2y=4,2xy=-21的解集.(三)方程组的实际应
11、用例3九章算术第八章“方程”问题一:今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.(禾:粮食作物的总称.秉:束.斗:计量单位,1斗=10升.)(请列方程组解决这个问题)问题:解答应用题的一般思路是怎样的?归纳小结:当堂检测1.方程组x+y=1,x2-y2=9的解集是() A.(5,4)B.(5,-4)C.(-5,4)D.(5,-4)2.求方程组x+y-z=11,x+z=5,x-y+2z=1的解集时,要使运算简便,消元的方法应选取()A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.以上说法都不
12、对3.设计一个二元二次方程组,使得这个二元二次方程组的解是x=2,y=3和x=-3,y=-2.试写出符合要求的方程组.(写一个即可)4.九章算术是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为.课堂小结本节课我们主要学习了哪些主要内容?你有什么收获?课后作业1.阅读课本
13、,结合学案,进行知识整理,整理笔记本,尤其要阅读一下课本第52页的拓展阅读.了解一下九章算术在代数中的一些成就.2.基础自测:课本第54页练习A,第55页练习B.3.能力提升:(1)若a2=b3=c7,且a-b+c=12,则2a-3b+c等于()A.37B.2C.4D.12(2)若|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0,则2a2-3ab的值是()A.14B.2C.-2D.-4(3)我国古代数学名著九章算术中有如下问题:今有甲乙丙三人持钱,甲语乙丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分一半,我手上就有90钱);乙复语甲丙,各将公等所持钱,半以益我,钱成七十;丙复语甲
14、乙:各将公等所持钱,半以益我,钱成五十六.则乙手上有()钱.A.28B.32C.56D.70(4)已知方程组y=k(x-1),y2=-x,则“k=12”是方程组的解集中只含有一个元素的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(5)已知x=2,y=-1,z=-3是三元一次方程组mx-ny-z=7,2nx-3y-2mz=5,x+y+z=k的解,则m2-7n+3k的值为.(6)某班对思想品德、历史、地理三门课程的选考情况进行调研,数据如下:科目思想品德历史地理参考人数(人)191318其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人,历史、地理两门课程都选了的有4人,则该
15、班选了思想品德而没有选历史的有人;该班至少有学生人.(7)已知x,y满足方程组3x2-2xy+12y2=47,2x2+xy+8y2=36.甲看了看说:这是二元一次方程组;乙想了想说:这不是二元一次方程组,甲、乙两人的说法正确的是.求x2+4y2的值.若已知:1x+12y=2y+x2xy和(2y+x)2=x2+4y2+4xy,则1x+12y=(直接求出答案,不用写过程).(8)水果市场将120吨水果运往各地商家,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:(假设每辆车均满载)车型甲乙丙汽车运载量(吨/辆)5810汽车运费(元/辆)400500600若全部水果都用甲、乙两种车型
16、来运送,需运费8 200元,问分别需甲、乙两种车型各几辆?市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆),已知它们的总辆数为16辆,你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗?参考答案自主预习1.略2.略3.(1)x=3,y=1.(2)-2,1.课堂探究略当堂检测1.D2.B3.答案不唯一,如xy=6,x-y=-1.4.9x=11y,(10y+x)-(8x+y)=13.课堂小结略课后作业3.(1)C(2)D(3)B(4)A(5)113(6)16,29(7)乙1754(8)解:设需甲车型x辆,乙车型y辆,得:5x+8y=120,400x+500y=8 200,解得x=8,y=10,答:需甲车型8辆,乙车型10辆.设需甲车型x辆,乙车型y辆,丙车型z辆,得:x+y+z=16,5x+8y+10z=120,消去z,得5x+2y=40,x=8-25y,因x,y是正整数,且不大于16,得y=5,10,由z是正整数,解得x=6,y=5,z=5或x=4,y=10,z=2.当x=6,y=5,z=5时,总运费为:6400+5500+5600=7 900(元);当x=4,y=10,z=2时,总运费为:4400+10500+2600=7 800(元)7 900(元);运送方案:甲车型4辆,乙车型10辆,丙车型2辆.