1、第七节二项分布、正态分布及其应用最新考纲1了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念2理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题3利用实际问题的直方图，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义4能解决一些简单的实际问题考向预测考情分析：条件概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复事件、二项分布和正态分布仍是高考考查的热点，三种题型均有可能出现学科素养：通过二项分布及正态分布的应用考查数据分析、数学建模的核心素养积 累 必备知识基础落实赢得良好开端一、必记4个知识点1条件概率(1)条件概率的定义设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)_为在事件A发生的条件下，事件B发生的
2、概率(2)条件概率的性质条件概率具有一般概率的性质，即0P(B|A)1；如果B，C是两个互斥事件，则P(BCA_P(C|A)2相互独立事件的定义及性质(1)定义：设A，B是两个事件，若P(AB)_，则称事件A与事件B相互独立(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验概率公式在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i1，2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)_(2)二项分布的定义在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)_，k0，1，2，n.
3、此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率4正态分布(1)正态曲线的定义函数，(x)12e-( x-)22a2 ，x(，)，其中实数和(0)为参数，称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)ab，xdx，则称随机变量X服从正态分布，记作XN(，2)(3)正态曲线的特点曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值12；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿着x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦
4、高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散二、必明2个常用结论1两个概率公式(1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)PABPB，注意其与P(B|A)的不同(2)若事件A1，A2，An相互独立，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)2对于正态分布N(，2)，由x是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a，有P(Xa)P(Xa)；(2)P(Xx0)1P(Xx0)；(3)P(aXb)P(Xb)P(Xa)三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)P(B)()(2)P(B|A)
5、表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)P(A)P(B)()(3)相互独立事件就是互斥事件()(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(Xk)Cnkpk(1p)nk，k0，1，2，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布()(二)教材改编2选修23P54练习T2改编先后掷一枚质地均匀骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“xy为偶数”，事件B为“x，y中有偶数，且xy”，则概率P(B|A)()A13B14C15D163
6、选修23P75习题B组T2改编已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X2c1)P(Xc3)，则c等于()A53 B35 C34 D43(三)易错易混4(分不清独立重复试验)甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是23和12，假设两人击中目标与否相互之间没有影响，每人各次击中目标与否相互之间也没有影响，若两人各射击4次，则甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为_5(不清楚正态曲线的对称性)某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110，102)已知P(100X110)0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有_人(四)走进高考62021山东卷有6个相同的
7、球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A甲与丙相互独立 B甲与丁相互独立C乙与丙相互独立 D丙与丁相互独立提 升 关键能力考点突破掌握类题通法考点一条件概率基础性12022安徽阶段测试将三颗骰子各掷一次，记事件A“三个点数都不同”，B“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)，P(B|A)分别是()A6091，12 B12，6091C518，6091 D91216，1222022湖南长
8、沙检测已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A0.75 B0.6 C0.52 D0.4832022广西柳州模拟袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是()A47 B27 C12 D134从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A18 B14 C25 D12反思感悟条件概率的三种求法定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(
9、B|A)PABPA，求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)nABnA缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简考点二相互独立事件的概率综合性 例1甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响(1)求3人同时被选中的概率；(2)求3人中至少有1人被选中的概率听课笔记：一题多变1(变问题)若例1中条件不变，求3人均未被选中的概率2(变条件，变问题)若例1中，条件“3人能被选中
10、的概率分别为25，34，13”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为1120，两人都被选中的概率为310，丙被选中的概率为13”，求恰好有2人被选中的概率反思感悟求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算(3)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样【对点训练】2022沈阳市教学质量监测在2019年女排世
11、界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并超过对方2分为胜在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分现有甲、乙两支球队进行排球比赛：(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已
12、获得下一球的发球权若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一球的发球权设两队打了x(x4)个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x)考点三独立重复试验与二项分布综合性、应用性 例2某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得10分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得10分规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率都是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响
13、(1)求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；(2)求参赛者甲回答这三个问题的总得分的分布列、期望和闯关成功的概率听课笔记：反思感悟1独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的2二项分布满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的；各次试验中的事件是相互独立的每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数【对点训练】2022青铜峡市高级中学高三考试设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位
14、同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立(1)用X表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件M，求事件M发生的概率考点四正态分布及其应用应用性、创新性 例3某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回答3道题，第一题为教育心理学知识，答对得2分，答错得0分，后两题为学科专业知识，每道题答对得4分，答错得0分(1)若一共有1000人应聘，他们的工作经历评分X服从正态分布N(63，132
15、)，76分及以上达标，求进面试环节的人数(结果四舍五入保留整数)；(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为45，每道题正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列及数学期望附：若随机变量XN(，2)，则P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973.听课笔记：反思感悟正态分布下2类常见的概率计算1利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，曲线与x轴之间的面积为1.2利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个【
16、对点训练】数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下(1)为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上(含60分)的成绩定为合格为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N(，2)，其中可用样本平均数近似代替，2可用样本方差近似代替(用一
17、组数据的中点值作代表)，若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数(结果根据四舍五入保留到整数位)解题中可参考使用下列数据：P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973.第七节二项分布、正态分布及其应用积累必备知识一、1(1)PABPA(2)P(B|A)2(1)P(A)P(B)3(1)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)2Cnkpk(1p)nk三、1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：因为P(A)2333612，P(AB)323616，所以P(B|A)161213.答案：A3解析：因为XN(3，1)，所以
18、正态曲线关于x3对称，且P(x2c1)P(Xc3)，所以2c1c332，即c43.答案：D4解析：甲恰好有2次击中目标的概率为C42(23)2(123)2827，乙恰好有3次击中目标的概率为C43(12)3(112)14，故甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为82714227.答案：2275解析：因为考试的成绩X服从正态分布N(110，102)，所以考试的成绩X关于X110对称，因为P(100X100)0.34，所以P(X120)P(X100)12(10.342)0.16，所以该班数学成绩在120分以上的人数为0.16508.答案：86解析：P(甲)16，P(乙)16，P(丙)5
19、36，P(丁)63616， P(甲丙)0P(甲)P(丙)，P(甲丁)136P(甲)P(丁)，P(乙丙)136P(乙)P(丙)，P(丙丁)0P(丁)P(丙)答案：B提升关键能力考点一1解析：因为“至少出现一个6点”有66655591种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C315460种情况，所以P(A|B)6091.答案：A2解析：设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P(AB)0.6，P(A)0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)PABPA0.60.80.75.答案：A3解析：在这两次摸球过程中，设A“第一次摸到黑球”
20、，B“第二次摸到白球”则n(A)C41 C6124，n(AB)C41 C3112，所以P(B|A)nABnA122412.答案：C4解析：P(A)C32+C22 C52 41025，P(AB)C22 C52 110，由条件概率公式，得P(B|A)PABPA1102514.答案：B考点二例1解析：记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)25，P(B)34，P(C)13.(1)3人同时被选中的概率为P1P(ABC)P(A)P(B)P(C)253413110.(2)3人中有2人被选中的概率为P2P(ABCABCABC)2534(113)25(134)13(125)34132360.3人
21、中只有1人被选中的概率为P3P(AB CABCA BC)25(134)(113)(125)34(113)(125)(134)13512.故3人中至少有1人被选中的概率为110+2360+512910.一题多变1解析：方法一3人均未被选中，PP(A B C)(125)(134)(113)110.方法二由本例(2)知，3人至少有1人被选中的概率为910，所以P1910110.2解析：设甲被选中的概率为P(A)，乙被选中的概率为P(B)，则P(A)(1P(B)P(B)(1P(A)1120，P(A)P(B)310，由知P(A)25，P(B)34，或PA=34，PB=25故恰有2人被选中的概率PP(AB
22、C)P(ABC)P(ABC)2360.对点训练解析：(1)依题意，若甲队赢得整场比赛，则甲队将以31或32的比分赢得比赛若甲队以31的比分赢得比赛，则第4局甲赢，若甲队以32的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢故甲队最后赢得整场比赛的概率为12+121234.解析：(2)依题意，每次发球，发球队得分的概率为25，接球队得分的概率为35.甲接下来可以以1614或1715赢得比赛，故x的取值为2或4.若甲、乙比分为1614，则x的取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，P(x2)2525425.若甲、乙比分为1715，则x的取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应
23、发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，P(x4)25353525+3535252572625.考点三例2解析：(1)设事件Ai为参赛者甲回答正确第i个问题(i1，2，3)，所以PP(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)232312+231312+13231249；(2)由题意，所有可能取值为20，10，0，10，20，30，P(20) P(A1A2A3)131312118，P(10)P(A1A2A3)23131219，P(0)P(A1A2A3)P(A1A2A3)131312+13231216，P(10)P(A1A2A3)P(A1A2A3)232312+23131213，P(20)
24、P(A1A2A3)13231219，P(30)P(A1A2A3)23231229，所以的分布列为：20100102030P1181916131929E()(20)118(10)1901610132019302910由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为P(20)P(30)13.对点训练解析：(1)因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为23，所以XB(5，23)，从而P(Xk)C5k(23)k(13)5k，k0，1，2，3，所以，随机变量X的分布列为：P012345X12431024340243802438024332243所以E(X)523103；(2)设乙同
25、学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y，则 YB(5，23)，且事件MX3，Y0X4，Y1X5，Y2，由题意知，事件X3，Y0，X4，Y1，X5，Y2之间互斥，且X与Y相互独立，由(1)可得P(M)802431243+8024310243+3224340243802187.考点四例3解析： (1)因为X服从正态分布N(63，132)，所以P(X76)P(X6313)1-0.682720.15865，因此进入面试的人数为10000.15865159.(2)由题可知，Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，则P(Y0)(134)(145)21100；P(Y2)34(145)23100；P(Y
26、4)1-34C2145(145)8100225；P(Y6)34C2145(145)24100625；P(Y8)(134) (45)216100425；P(Y10)34(45)2481001225.故Y的分布列为：Y0246810P110031002256254251225所以E(Y)01100231004225662584251012257901007.9.对点训练解析：(1)由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为(0.010.02)20106，不合格的人数为1064.因此，的可能值为0，1，2，3，4，则P(0)C64 C104 114，P(1)C41C63 C10
27、4 821，P(2)C42C62 C104 37，P(3)C43C61 C104 435，P(4)C44 C104 1210.故的分布列为01234P114821374351210所以的数学期望E()0114182123734354121085.解析：(2)由题意可知，(300.005500.015700.02900.01)2064.2(3064)20.1(5064)20.3(7064)20.4(9064)20.2324，所以18.由X服从正态分布N(，2)，得P(6418X6418)P(46X82) 0.6827，则P(X82)12(10.6827)0.15865，P(X46)0.68270.158650.84135，600.8413550.所以此次竞赛受到奖励的人数为50.
