1、第三课数系的扩充与复数的引入 核心速填1复数的有关概念及分类(1)代数形式为zabi(a，bR)，其中实部为a，虚部为b；(2)共轭复数为zabi(a，bR)(3)复数的分类若 zabi(a，bR)是实数，则z与的关系为z.若zabi(a，bR)是纯虚数，则z与的关系为z0(z0)2与复数运算有关的问题(1)复数相等的充要条件abicdi(a，b，c，dR)(2)复数的模复数zabi的模|z|，且z|z|2a2b2.(3)复数的四则运算，若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；乘法：
2、z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；除法：i(z20)；3复数的几何意义(1)任何一个复数zabi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.(2)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量1、2不共线，则复数z1z2是以1、2为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数(3)复数减法的几何意义复数z1z2是连接向量1、2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数体系构建题型探究复数的概念当实数a为何值时，za22a(a23a2)i.(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z对应的点在直线xy0. 【导学号：31062230】解(
3、1)zRa23a20，解得a1或a2.(2)z为纯虚数，即故a0.(3)z对应的点在第一象限，则a0，或a2.a的取值范围是(，0)(2，)(4)依题设(a22a)(a23a2)0，a2.规律方法处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是abi(a，bR)的形式时，要通过变形化为abi的形式，以便确定其实部和虚部.(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.跟踪训练1(1)若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部为()A0B1C1 D2(2)设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3B1C1D3(1)A(2)D(1)因为z1i，所以
4、1i，所以z22(1i)2(1i)22i(2i)0.故选A.(2)因为aaa(a3)i，由纯虚数的定义，知a30，所以a3.复数的几何意义(1)在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)已知复数z123i，z2abi，z314i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若2，则a_，b_. 【导学号：31062231】(1)B(2)310(1)i，复数对应的点位于第二象限(2)214i2(23i)(abi)即跟踪训练2若i为虚数单位，图31中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()图31AEBFCGDHD点Z(3,1)对应的复数为z，
5、z3i，2i，该复数对应的点的坐标是(2，1)，即H点复数的四则运算(1)已知是z的共轭复数，若zi22z，则z() 【导学号：31062232】A1iB1iC1iD1i(2)已知复数z123i，z2，则等于()A43iB34iC34iD43i(1)A(2)D(1)设zabi(a，bR)，则abi，代入zi22z中得，(abi)(abi)i22(abi)，2(a2b2)i2a2bi，由复数相等的条件得，z1i，故选A.(2)43i.母题探究：1.(变结论)本例题(1)中已知条件不变，则_.解析由解析知z1i，所以1i.i.答案i2(变结论)本例题(2)中已知条件不变，则z1z2_.解析z1z2
6、 i.答案 i规律方法(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；(2)复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成abi(a，bR)的结构形式. (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化.转化与化归思想已知z是复数，z2i，均为实数，且(zai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围. 【导学号：31062233】解设zxyi(x，yR)，则z2ix(y2)i为实数，y2.又(x2i)(2i)(2x2)(x4)i为实数，x4.z42i，又(zai)2(42iai)2(124aa2)8(a2)i在第一象限，解得2a6.实数a的取值范围是(2,6)规律方法一般设出复数z的代数形式，即zxyi(x，yR)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.跟踪训练3已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.解设xabi(a，bR)，则yabi.又(xy)23xyi46i，4a23(a2b2)i46i，或或或或或或