1、2.1.2 求曲线的方程目标定位重点难点1.初步掌握求曲线方程的一般步骤2.认识坐标法是借助坐标系研究几何图形、数形结合的一种方法重点：求曲线的方程难点：寻求动点所满足的几何条件1借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫_用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫作_2解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示_；(2)通过曲线的方程，研究曲线的_坐标法解析几何曲线的方程性质3求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对_表示曲线上任意一点M
2、的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P_；(3)用_表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)证明化简后的方程的解都是曲线上的点(x，y)M|p(M)坐标1已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()AB4C8D9【答案】B【解析】设 P(x，y)，由|PA|2|PB|，得x22y22 x12y2，整理得 x24xy20，即(x2)2y24.所以点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心，以 2 为半径的圆，故 S4.2已知A(1,0)，B(1,0)，动点M满足|MA|MB|2，则点M的轨
3、迹方程是()Ay0(1x1)By0(x1)Cy0(x1)Dy0(|x|1)【答案】C【解析】由题意，可知|AB|2，则点M的轨迹方程为射线y0(x1)3.平面内有两定点A，B且|AB|4，动点P满足|4，则点P的轨迹是()A.线段B.半圆C.圆D.直线【答案】C【解析】以 AB 的中点为原点 O，以 AB 所在的直线为 x轴建立直角坐标系，则 A(2,0)，B(2,0).设 P(x，y)，则 PA PB2 PO 2(x，y)，由|PA PB|4，得(2x)2(2y)242，即 x2y24.4到直线4x3y50的距离为1的点的轨迹方程为_【答案】4x3y100和4x3y0【解析】可设动点坐标为(
4、x，y)，则|4x3y5|51，即|4x3y5|5.所求轨迹方程为 4x3y100 和 4x3y0.【例1】如图，线段AB与CD互相垂直 平 分 于 点 O，|AB|2a(a0)，|CD|2b(b0)，动点P满足|PA|PB|PC|PD|，求动点P的轨迹方程直接法求曲线方程【解题探究】建立适当的坐标系，设出点的坐标，根据几何条件列关系式【解析】以 O 为坐标原点，直线 AB，CD 分别为 x 轴、y轴建立直角坐标系，则 A(a,0)，B(a,0)，C(0，b)，D(0，b)，设 P(x，y)是曲线上的任意一点由题意，知|PA|PB|PC|PD|，xa2y2 xa2y2 x2yb2x2yb2，化
5、简，得 x2y2a2b22.直接法求曲线方程，关键是建立适当的直角坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式1.如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程解：设点 M 的坐标为(x，y)M 是线段 AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)PA(2x2，4)，PB(2,2y4)由已知PAPB0，2(2x2)4(2y4)0，即 x2y50.线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x2y50.【例2】已知RtABC，|AB|2a(a0)，求直角顶点C的轨迹方程【解题探究】建立适当的坐标
6、系，利用曲线的定义写出动点轨迹方程用定义法求曲线的方程【解析】如图，以 AB 所在直线为 x 轴，以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则 A(a,0)，B(a，0)设直角顶点 C 的坐标为(x，y)，连接 CO，则由直角三角形的性质知|OC|12|AB|122aa.因而点 C 的轨迹是以坐标原点为圆心，以 a 为半径的圆，其轨迹方程为 x2y2a2(xa)如果所给几何条件正好符合圆及将要学到的曲线的定义，则可直接利用已知曲线的定义写出动点的轨迹方程2已知圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程【解析】如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y
7、)为 OQ 中点，则 CPOQ，设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为12，0.OPC90，动点 P 在以点M12，0 为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得所求轨迹方程为x122y214(0 x1)【例3】已知ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0,0)，B(6,0)，顶点C在曲线yx23上运动，求ABC重心的轨迹方程【解题探究】利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点坐标代入法(相关点法)求轨迹方程【解析】设 G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点 C 的坐标为(x，y)，则由重心坐标公式，得x06x3，y00y3，x3x6，y3y.顶点 C(x，y)
8、在曲线 yx23 上，3y(3x6)23，整理得 y3(x2)21.故所求的轨迹方程为 y3(x2)21.代入法(相关点法)适用于求随着已知曲线上的点的运动而运动的点的轨迹问题，关键是求得主动点和从动点的坐标关系，用从动点的坐标表示主动点的坐标，再代入已知曲线方程，即可求出轨迹方程3已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(xy，xy)的轨迹方程是_【答案】x22y10(2x 2)【解析】设 Q(x0，y0)，则x0 xy，y0 xy，从而(xy)2(xy)2x20y20.故 x2y22xy(xy)2x20y20，即 12y0y20 x20y20.又 x20(xy)22(x2y2
9、)2，则 2x0 2，从而所求的轨迹方程为 x22y10(2x 2)条件考虑不全面致误【示例】已知两点 M(1,0)，N(1,0)，存在点 P 使 M PM N，PMPN，NMN P成公差小于零的等差数列，求点 P 的轨迹方程【错解】设点 P(x，y)，由 M(1,0)，N(1,0)，得 PMM P(1x，y)，PNN P(1x，y)，M NNM(2,0)，M PM N2(x1)，PMP Nx2y21，NMN P2(1x)，于是条件等价于 x2y21122(x1)2(1x)，化简得x2y23.点 P 的轨迹方程是 x2y23.【错因分析】错解中没有注意到一个条件，三个数量积成公差小于零的等差数
10、列，所以应加限制条件【正解】设点 P(x，y)，由 M(1,0)，N(1,0)，得 PMM P(1x，y)，PNN P(1x，y)，M NNM(2,0)M PM N2(x1)，PMP Nx2y21，NMN P2(1x)于是，M PM N，PMP N，NMN P是公差小于零的等差数列等价于x2y21122x121x，21x2x10.点 P 的轨迹方程为 x2y23(x0)【警示】解题时，不要忽略已知条件1坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同2一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x，y)等3方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将
11、方程f(x，y)0化成x，y的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹却遗漏的点求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明1若点M到两坐标轴的距离的积为6，则点M的轨迹方程是()Axy6 Bxy6Cxy6Dxy6(x0)【答案】C【解析】设M(x，y)，由题意，得|x|y|6，xy6.故选C.2已知点O(0,0)，A(1，2)，动点P满足|PA|3|PO|，则点P的轨迹方程是()A8x28y22x4y50B8x28y22x4y50C8x28y22x4y50D8x28y22x4y50【答案】A【解 析】设 动 点 P(x，y)，则 由|PA|3|PO|
12、，得x12y223 x2y2.化简得 8x28y22x4y50.故选 A3设动点 P 是曲线 y2x21 上任意一点，定点 A(0，1)，点 M 分 PA 所成的比为 21，则点 M 的轨迹方程是()Ay6x213By3x213Cy3x213Dx6y213【答案】A【解析】设 M(x，y)，P(x，y)，由题意可知PM 2MA，即xx2x，yy22y，所以x3x，y3y2.因为 P(x，y)在抛物线上，所以 3y22(3x)21.所以点 M 的轨迹方程为 y6x213.故选 A.4已知点 A(2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足PAPBx2，则 P 点的轨迹方程是_【答案】y2x6【解析】由PAPBx2，得(2x，y)(3x，y)x2，即 y2x6.