1、辽宁省葫芦岛市实验中学东戴河分校2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：1.下列导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】采用逐一验证法，根据基本函数的导数的运算直接可得结果.【详解】，故A错，故B错，故C错，故D正确故选：D【点睛】本题考查基础函数的导函数，熟记基础函数的导函数，属基础题.2.若，则（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】D【解析】【分析】由得，即，然后即可求出答案【详解】因为，所以所以即，即解得故选：D【点睛】本题考查的是排列数和组合数的计算，较简单.3.函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 和【答案
2、】B【解析】【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调递增区间.【详解】的定义域为，且，所以当时，单调递增，的单调递增区间为.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.4.已知随机变量的分布列如表，则的标准差为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由分布列的性质求得，利用方差的计算公式可求得，进而得到标准差.【详解】由分布列的性质得：，解得：，的标准差为.故选：.【点睛】本题考查根据离散型随机变量的分布列求解标准差的问题，考查了分布列的性质、数学期望和方差的求解，考查基础公式的应用.5.曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答
3、案】D【解析】【分析】只需利用导数的几何意义计算曲线在点处的导数值即可.【详解】由已知，故切线的斜率为，所以切线方程为，即.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道基础题.6.记者要为4名志愿者都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A. 144种B. 960种C. 72种D. 288种【答案】A【解析】【分析】本题是一个分步问题，采用插空法，首先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中，然后2位老人内部还有一个排列，根据分步计数原理得到结果【详解】解：由题意知本
4、题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中（除去两端的），然后将2位老人排列，则不同的排法有种故选：A【点睛】本题考查分步计数原理，题目中要求两个元素相邻的问题，一般把这两个元素看成一个元素进行排列，注意这两个元素内部还有一个排列，属于基础题7.若展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据最大项系数可得的值，结合二项定理展开式的通项，即可得有理项及有理项的个数.【详解】展开式中只有第四项的系数最大，所以，则展开式通项为，因为，所以当时为有理项，所以有理项共有4项
5、，故选：D.【点睛】本题考查了二项定理展开式系数的性质，二项定理展开式通项的应用，有理项的求法，属于基础题.8.已知函数的导函数为，且满足，则等于（）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】，所以，得，故选B9.设函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，求导得，再由函数有两个极值点，转化为，有两个不同的解，利用求解.【详解】因为，所以，因为函数有两个极值点，所以，有两个不同的解，所以，解得 .故选：A【点睛】本题主要考查导数与函数的极值的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.已知定义在的函数满足：，若，则（ ）A. B.
6、C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，然后对其求导，结合导数与单调性的关系可求的单调性，进而可比较大小【详解】令，因为：，则，故在上单调递减， 因为，所以，故 故选：A【点睛】本题主要考查了利用单调性比较函数值的大小，解题的关键是利用导数判断函数的单调性11.安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（ ）A. 60B. 150C. 180D. 240【答案】B【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意，分2步进
7、行分析：、将5项工作分成3组，若分成1、1、3的三组，有种分组方法，若分成1、2、2的三组，有种分组方法，则将5项工作分成3组，有种分组方法；、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有种情况，则有种不同的分组方法；故选：B【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论，属于中档题12.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人附表：0.0500.010k3.8416.635附：A. 25或4
8、5B. 45C. 45或60D. 75或60【答案】C【解析】【分析】设男生的人数为，列出列联表，计算出的观测值，结合题中条件可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出男生人数的可能值.【详解】设男生人数为，根据题意列出列联表如下表所示：男生女生合计喜欢抖音不喜欢抖音合计则，由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，即，得，则的可能取值有、，因此，调查人数中男生人数的可能值为或.故选：C.【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属中档题.二、填空题：13.现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有 种.【答
9、案】240【解析】试题分析：先将甲乙捆绑，有种，再将甲乙看成整体与剩下4为同学共种，由分步计数原理知共有种考点：排列14.二项式的展开式中，常数项为_.【答案】【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，然后令的指数为0，简单计算可得结果.【详解】二项式的展开式中通项公式为则令解得.所以当时，二项展开式的常数项为.故答案为：【点睛】本题考查二项展开式的通项公式以及指定项，熟悉公式，细心计算，属基础题.15.函数的最小值为_【答案】【解析】【分析】（1） 求导数， 确定函数在区间上的单调性， 即可求出函数在区间上的最小值【详解】，当时，当时，所以在上递减，在递增，所以函数在处取得最小值，即【点睛】
10、本题考查导数知识的运用， 考查函数的单调性与最值， 考查学生的计算能力， 属于中档题 16.一个盒子中装有8个小球，红球有3个，白球有5个，每次从袋子不放回地抽取1个小球，则在第一次抽取的球是红球的条件下，第二次抽取的球为白球的概率为_.【答案】【解析】【分析】分别计算第一次抽取的球是红球的概率和第一次抽取的球是红球，第二次抽取的球为白球的概率，然后根据条件概率的计算公式,可得结果.【详解】记事件表示“第一次抽取的球是红球”事件表示“第二次抽取的球为白球”则，则故答案为：【点睛】本题考查条件概率，熟记公式，细心计算，属基础题.三、解答题：17.已知随机变量的分布列为若.（1）求的值；（2）若，
11、求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据概率之和为可得出的值，利用可求出的值，然后利用方差的计算公式可求出的值；（2）由方差的性质可计算出的值.【详解】（1）由题意可得，得，又，解得.；（2），.【点睛】本题考查利用数学期望求参数，同时也考查了离散型随机变量方差的计算以及方差性质的应用，考查计算能力，属于基础题.18.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）求分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件，利用相互独立事件
12、概率乘法公式能求出甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）由题意可知随机变量可取的值为、，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列及其数学期望的值.【详解】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：；（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、，.所以，随机变量的分布列如下：因此，随机变量的数学期望为.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，、是
13、上被切去的小正方形的两个顶点，设.（1）将长方体盒子体积表示成的函数关系式，并求其定义域；（2）当为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积.【答案】（1），；（2）当时长方体盒子体积最大，此时最大体积.【解析】【分析】（1）分别由题意用x表示长方体的长宽高，代入长方体的体积公式即可表示该函数关系，再由实际长方体的长宽高都应大于零构建不等式组，即可求得定义域.（2）利用导数分析体积在定义域范围内的单调性，进而求函数的最大值.【详解】长方体盒子长，宽，高.（1）长方体盒子体积，由得，故定义域为.（2）由（1）可知长方体盒子体积则，在内令，解得，故体积V在该区间单调递增；令，解得，故体积V在该
14、区间单调递减；在取得极大值也是最大值.此时.故当时长方体盒子体积最大，此时最大体积为.【点睛】本题考查实际生活中的最优解问题，涉及数学建模与利用导数求函数的最大值，属于简单题.20.改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.安全意识强安全意识不强合计男性女性合计（）求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；（）已知交通安全意识强样
15、本中男女比例为4:1，完成22列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；（）在（）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数的分布列及期望.附：，其中0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（）.0.2（）见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关（）见解析，【解析】【分析】（）直接根据频率和为1计算得到答案.（）完善列联表，计算，对比临界值表得到答案.（）的取值为，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（） ，解得.所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.（）安全意识强安全意识不强合计男性163450女性44650合计
16、2080100，所以有的把握认为交通安全意识与性别有关（）的取值为 所以的分布列为期望.【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数.【答案】（1）；（2）有2个.【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求切线方程（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，判断极值与0的关系明确零点个数试题解析：（1）由已知得，有，在处的切线方程为：，化简得（2）由（1）知，因为，令，得所以当时，有，则是函数的单调递减区间； 当时，有，则是函数的单调递增区间当时，函数在上单调递减
17、，在上单调递增；又因为，所以在区间上有两个零点22.已知函数在处取到极值.（1）求实数的值，并求出函数的单调区间；（2）求函数在上的最大值与最小值及相应的的值.【答案】（1），函数在单调递减，在和上单调递增（2），此时；，此时【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的极值的关系即可求出，（2）根据导数和函数的最值得关系即可求出【详解】解：（1）由条件得，又在处取到极值，故，解得.此时由，解得或，由，解得，因此，函数在单调递减，在和上单调递增.（2）由（1）可知函数在单调递增，在单调递减，在单调递增.故，此时；此时.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，最值问题，考查转化思想，属于中档题
