1、2016年山东省高考最后一卷理科数学(第九模拟)一、选择题：共10题 1设全集U=R,集合A=x|x2-2x0,B=x|y=log2(x2-1),则(UA)B=A.1,2)B.(1,2)C.(1,2D.(-,-1)0,2【答案】B【解析】本题考查一元二次不等式的解法,函数的定义域以及集合的交、补运算.解题时,先求出对应不等式的解集,然后根据数轴确定两个集合的运算.由已知得A=(-,02,+),UA=(0,2),又B=(-,-1)(1,+),(UA)B=(1,2),故选B. 2已知i为虚数单位,若复数z=的虚部为-3,则|z|=A.B.2C.D.5【答案】C【解析】本题主要考查复数的虚部、模等有
2、关概念,考查复数的运算,考查考生灵活运用知识的能力和运算求解能力.先根据复数的运算法则将z=化简,然后利用复数的虚部的定义列出方程,求出a的值,最后由复数模的概念求出结果.z=-i,-=-3,a=5,z=-2-3i,|z|=, 故选C. 3对于下述两个命题,p:对角线互相垂直的四边形是菱形;q:对角线互相平分的四边形是菱形.则命题“pq”、“pq”、“p”中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定,考查考生对基础知识的掌握情况.定义域为R的偶函数的定义:xR,f(-x)=f(x),这是一个全称命题,所以它的否定为特称命题:x0R,f(-x
3、0)f(x0),故选C. 4已知sin(+)=-,则2sin2-1=A.B.-C.D.【答案】A【解析】本题主要考查诱导公式、二倍角公式等,考查考生的运算能力.通解sin(+)=-,cos =-,2sin2-1=-cos =,故选A.优解特殊值法,取+=,=,2sin2 -1=2()2-1=,故选A. 5函数f(x)=(x2-2x)ex的大致图象是A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查函数图象的识别,考查考生利用导数研究函数的单调性等知识,属于基础题.由题意可得,f(0)=0,故排除C.又f (x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x2-2)ex,令f (x)0得,x或x-,故
4、函数f(x)在(-,-),(,+)上单调递增,令f (x)0得,-x,故函数f(x)在(-,)上单调递减,故排除B,D,选A. 6如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查三视图的知识,考查圆柱体积的求解公式,考查考生的空间想象能力.通过所给条件信息正确确定几何体的形状是解题的关键.由已知三视图,可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体,即如图所示的下半部分,则其体积为圆柱的一半,因而V=122=,故选C. 7某学校为了提高学生的意识,防止事故的发生,拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天中恰好有2天连续的情况有A.10种B.
5、20种C.25种D.30种【答案】B【解析】本题主要考查分类加法计数原理的有关知识,考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力.(1)当连续的2天是前2天或后2天时,第3天有4种情况,此种情况共有4=8种;(2)当连续的2天是中间5天中的2天时,先从中间的5天中任选连续2天,共4种情况,则第3天共有3种情况,此种情况共有43=12种.综上,选择的3天中恰好有2天连续的情况有8+12=20种. 8阅读程序框图,若输出的结果中有且只有三个自然数,则输入的自然数n0的所有可能取值所组成的集合为A.1,2,3B.2,3,4C.2,3D.1,2【答案】C【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,考查
6、考生的逻辑思维能力和运算能力.解题的关键是读懂程序框图.通解:要使输出的结果中有且只有三个自然数,只能是5,4,2,所以应使510,解得10,b0)在该约束条件下取得最小值时,(a+1)2+(b-1)2的最小值为A.1B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查线性规划的应用,数形结合是解决线性规划题目的常用方法.画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=ax+by(a0,b0),即y=-x+,显然当直线经过点A时,z的值最小,由可得,即A(3,1),故3a+b=,(a+1)2+(b-1)2的最小值,即在直线3a+b=上找一点,使得它到点(-1,1)的距离的平方最小,即点(-1,1
7、)到直线3a+b=的距离的平方d2=()2=,选D. 10如果直线2ax-by+14=0(a0,b0)和函数f(x)=mx+1+1(m0,m1)的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或边界上,则的取值范围是A.,)B.(,C.,D.(,)【答案】C【解析】本题主要考查函数的图象和性质、直线和圆的方程等知识.解题时,先求出定点坐标,再把定点坐标代入直线和圆的方程,求出a的取值范围,最后求的取值范围.当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=m0+1=2,所以函数y=f(x)的图象恒过定点(-1,2),又直线2ax-by+14=0(a0,b0)也过定点
8、(-1,2),所以a+b=7,又定点(-1,2)在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或边界上,所以(-1-a+1)2+(2+b-2)225,即a2+b225,由得3a4,所以,所以-1,. 二、填空题：共5题 11使不等式|x-1|+|x+2|7成立的x的取值范围是.【答案】(-4,3)【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法,考查考生的分类讨论思想和对绝对值几何意义的理解.解法一当x-2时,不等式化为-(x-1)-(x+2)7,得-4x-2;当-2x1时,不等式化为-(x-1)+(x+2)1时,不等式化为(x-1)+(x+2)7,得1x3.综上,得-4x3. 解法二|x-1|+|
9、x+2|7的解集表示数轴上到-2和1两点的距离之和小于7的点的集合,到-2和1两点的距离之和等于7的点是-4和3,所以x的取值范围是(-4,3). 12阅读程序框图,若输出的结果中有且只有三个自然数,则输入的自然数n0的所有可能取值所组成的集合为A.1,2,3 B.2,3,4 C.2,3 D.1,2【答案】C【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,考查考生的逻辑思维能力和运算能力.解题的关键是读懂程序框图.通解:要使输出的结果中有且只有三个自然数,只能是5,4,2,所以应使510,解得10,a1)的值域是2,+),则实数a的取值范围为. 【答案】(0,【解析】本题主要考查了分段函数的值域.解题
10、时,由函数在4,+)上的值域正好是2,+),可得函数在(0,4)上的值域是2,+)的子集,从而得出结果.当x4时,x-22,y=3+logax在(0,4)上的值域是2,+)的子集,0a3+loga42,loga4-1=loga,4,00,0A,f(2A)=sin(2A+)-,2A+,sin(2A+)1,0sin(2A+)-,即f(2A)的取值范围是(0,.【解析】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象与性质以及正弦定理的应用,属于中档题.第(1)问先根据二倍角公式、两角和的正弦公式进行恒等变换,再利用函数解析式研究函数的单调性;第(2)问根据正弦定理找出A,B之间的关系,求出A的取值范围,进
11、而求f(2A)的取值范围.【备注】高考解答题对三角函数的考查以三角恒等变换,三角函数的图象和性质,利用正、余弦定理解三角形为主,难度中等,因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可.在三角函数求值问题中,一般运用三角恒等变换,将未知角变换为已知角求解;在研究三角函数的图象和性质问题时,一般先运用三角恒等变换,将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解;对于三角函数与解三角形相结合的题目,要注意通过正、余弦定理以及三角形的面积公式实现边角互化,求出相关的边和角的大小或者取值范围.17某电视台新设了一档大型闯关的娱乐节目,节目要求如下:参加者需依次闯A,B,C,D,E五关,如果前四关中有两关不通过或第五关
12、不通过,则被淘汰,闯关结束;且规定只要闯关者未被淘汰,就必须继续闯关.已知某闯关者闯A,B,C,D四关不通过的概率均为,闯第五关不通过的概率为,假设该闯关者闯每一关是否通过是相互独立的.(1)求该闯关者闯关成功的概率;(2)记该闯关者所闯的关数为X,求X的分布列和数学期望.【答案】(1)该闯关者闯关成功,则闯A,B,C,D四关时通过三关或四关,并且通过第五关,所以该闯关者闯关成功的概率为P=()4+()3=.(2)该闯关者所闯的关数X的所有可能取值为2,3,4,5,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=()2,P(X=5)=1-.该闯关者所闯的关数X的分布列为则EX=2+3+4+5.【
13、解析】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、相互独立事件的概率等.对于(1),该闯关者闯关成功,则必须通过前四关中的三关和第五关或者通过所有的关,再利用相关概率公式计算即可;对于(2),关键是弄清X的所有取值和相关取值的意义,再分别计算其概率得出分布列以及数学期望. 18如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=3,ACB=90, 又点B1在底面ABC上的射影D落在BC上,且BC=3BD.(1)求证:AC平面BB1C1C;(2)求二面角C-AB-C1的大小.【答案】(1)点B1在底面ABC上的射影D落在BC上,B1D平面ABC,AC平面ABC,B1DAC,又ACB=90,BC
14、AC,又B1DBC=D,AC平面BB1C1C.(2)B1D平面ABC,B1DBC,又BD=BC=1,B1B=AA1=3,B1D=2.以C为原点,CA所在的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,3,0),B1(0,2,2),C1(0,-1,2),=(-3,3,0),=(0,-4,2).显然平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),设平面ABC1的法向量为m=(x,y,z),则,即,令x=,则y=,z=2,平面ABC1的一个法向量为m=(,2).cos=,=,二面角C-AB-C1的大小是.【解析】本题主要考
15、查空间几何体中线面垂直的判定、二面角的计算,意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力.第(1)问关键是找到线线垂直,从而得出线面垂直;第(2)问建立空间直角坐标系,利用空间向量计算求解.【备注】高考对立体几何的考查以空间线面位置关系的证明,空间角、空间距离的求解为主.解决此类问题有两种方法:传统法和向量法.对于平行和垂直问题的证明或探求,其关键是在线线、线面、面面之间进行灵活转化,在寻找解题思路时,不妨采用分析法,从要求证的结论出发逐步逆推到已知条件.利用向量法解决几何问题要重视空间直角坐标系的建立、点的坐标和法向量的求解的准确性.19设Sn为数列an的前n项和,且满足(n-1)Sn-nSn-
16、1=n(n-1)k(n)(n2),a1=1.(1)当k(n)=1时,求数列an的通项公式;(2)当k(n)=2n-1时,设bn=,求数列bn的前n项和Tn.【答案】(1)当k(n)=1时,由(n-1)Sn-nSn-1=n(n-1)(n2)得-=1,所以数列是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=n,所以Sn=n2, 所以an=Sn-Sn-1=2n-1(n2),当n=1时也适合上式,所以an=2n-1.(2)当k(n)=2n-1时,(n-1)Sn-nSn-1=n(n-1)2n-1(n2),即-=2n-1(n2),所以-=2n-2,-=2,累加得-=2+22+2n-1=,所以Sn=n(2n-1)(
17、n2),又当n=1时也适合上式,所以Sn=n(2n-1),所以an=Sn-Sn-1=(n+1)2n-1-1(n2),经检验n=1时上式也成立,故an=(n+1)2n-1-1,所以bn=-+,Tn=b1+b2+bn=-(+)+-+.【解析】本题主要考查数列的递推关系式、等差数列的定义,数列的通项公式与前n项和之间的关系等,考查考生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.对于(1),由(n-1)Sn-nSn-1=n(n-1)(n2)得-=1,数列是等差数列,求出Sn,进而求得an;对于(2),先求数列an的通项公式an,然后求数列bn的前n项和即可.【备注】山东高考对数列的考查主要围绕等差数列和
18、等比数列展开,其考查的知识包括等差和等比数列的定义、通项公式、求和等.递推数列的考查也是山东高考数列命题的一大亮点,也是未来数列考查的一大趋势,重在考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力,在复习时还要关注数列与其他知识的交汇和联系,如与不等式和函数等的联系.20已知过抛物线C:x2=4y的焦点F的直线l的斜率为k,直线l交抛物线C于A,B两点,且满足=,且1,2.(1)求直线l的斜率k的取值范围;(2)设直线l交x轴于点P,线段AB的中点为Q,求在(O为坐标原点)上的投影的最小值.【答案】(1)根据题意可知F(0,1),易知直线l的斜率存在且过点F,故可设直线l的方程为y=kx+1,
19、代入抛物线C:x2=4y得x2-4kx-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=4k,x1x2=-4.因为=,所以(-x2,1-y2)=(x1,y1-1),则=-,所以+2=-+2=-4k2,所以+=4k2+2,又1,2,所以0k2,所以-k.(2)根据题意可知k0,P(-,0),线段AB的中点为Q(2k,2k2+1),则=(2k+,2k2+1),=(2k,2k2+1).在上的投影为,令2k2+1=t(1t),则.令t2+2t-2=s(1s),则=2,当且仅当s=2时等号成立,故在上的投影的最小值为2.【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系、直线斜率取值范围的求解等知识,
20、考查数形结合思想和运算求解能力.(1)联立方程,利用根与系数的关系进行求解;(2)先用k表示出在上的投影,再求解最小值.【备注】圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是解析几何的基石,也是高考命题的重点和热点,此外直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的另一个重点,解题时要注意应用根与系数的关系.求解与圆锥曲线有关的最值和范围问题时,常把所讨论的对象看作一个函数,选一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求研究对象的取值范围.21已知函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线2x-y-3=0平行.(1)求证:方程f(x)=g(x
21、)在(1,2)内存在唯一的实根;(2)设函数m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小者),求m(x)的最大值.【答案】(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为2,所以f (1)=2,又f (x)=ln x+1,所以a=1.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-,当x(0,1时,h(x)1-1=0,所以存在x0(1,2),使h(x0)=0.因为h(x)=ln x+1+,当x(1,2)时,0x(2-x)=-(x-1)2+1e,所以01-0,所以当x(1,2)时,h(x)单调递增,所以方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根.
22、(2)由(1)知,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根x0,且x(0,x0)时,f(x)0,当x(2,+)时,h(x)0,所以当x(x0,+)时,h(x)0,所以当x(x0,+)时,f(x)g(x),所以m(x)=.当x(0,x0)时,若x(0,1,则m(x)0;若x(1,x0,由m(x)=ln x+10,可知00,m(x)单调递增;x(2,+)时,m(x)0,m(x)单调递减.可知m(x)m(2)=,且m(x0)m(2).综上可得,函数m(x)的最大值为.【解析】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、最值,考查考生的运算求解能力和分类讨论思想的应用.第(1)问先利用导数的几何意义求出a,再证明存在性,最后研究函数的单调性,从而证明唯一性;第(2)问利用分类讨论思想求解.【备注】高考对导数的考查是多方面的,但一般是先利用导数的方法研究函数的单调性、极值和最值等,再结合方程、不等式等问题把试题引向深处.解与不等式恒成立相关的问题,一般可通过不等式的变形来分离变量,从而构造新的函数,转化为新函数的单调性和最值问题来求解.