1、第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时简单的三角恒等变换(对应学生用书(文)、(理)5152页)考情分析考点新知灵活掌握公式间的关系，能运用它们进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明能运用三角函数各种公式进行恒等变换以及解决综合性问题.1. (必修4P115复习题7(2)改编)函数ycos4xsin4x的最小正周期为_答案：解析：ycos4xsin4x2(cos4xsin4x)22cos，故T.2. 在ABC中，若cosA，cosB，则cosC_.答案：解析：在ABC中，0A，0B，cosA0，cosB0，得0A，0B，从而sinA，sinB，所以cosCcos(AB)cos(AB)s
2、inAsinBcosAcosB.3. (必修4P113练习3(2)改编)已知cos，且270360，则sin_，cos_答案：解析： 270360， 135180. sin；cos.4. (必修4P115复习题5改编)已知sin，是第二象限角，且tan()1，则tan2_答案：解析：由sin且是第二象限角，得tan， ()， tantan()7. tan2.5. (必修4P115复习题1(1)改编)已知sin2，且，则sin4cos4_答案：解析：sin4cos4sin2cos2cos2.三角函数的最值问题(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 yasinxbcosxsin(x)，其
3、中cos，sin . yasin2xbsinxcosxccos2x可先降次，整理转化为上一种形式 y可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式或sinxf(y)(cosxf(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 yasin2xbcosxc可转化为cosx的二次函数式 yasinx(a、b、c0)，令sinxt，则转化为求yat(1t1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解备课札记题型1三角形中的恒等变换例1已知ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin2cos，求角C的大小解：由sin2cos，得cos，整理得cos0.因为在
4、ABC中，0C，所以0.所以cos，从而，即C.在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinBb .求角A的大小解：由已知，得2sinAsinBsinB，且B， sinB0， sinA，且A， A.题型2角的构造技巧与公式的灵活运用例2求sin210cos240sin10cos40的值解：(解法1)因为403010，于是原式sin210cos2(3010)sin10cos(3010)sin210sin10(cos10sin10)(sin210cos210).(解法2)设xsin210cos240sin10cos40，ycos210sin240cos10sin40.则xy1
5、1sin10cos40cos10sin402sin502cos40，xycos80cos20sin50cos40.因此2x，故x.求sin220cos280sin20cos80的值解：sin220cos280sin20cos80(1cos40)(1cos160)sin20cos(6020)1cos40(cos120cos40sin120sin40)sin20(cos60cos20sin60sin20)1cos40cos40sin40sin40sin2201cos40(1cos40).题型3三角函数的综合问题例3函数f(x)sinsinsinxcosx(xR)(1) 求f的值；(2) 在ABC中
6、，若f1，求sinBsinC的最大值解：(1) f(x)sinsinsinxcosxcos2xsin2xsin，所以f1.(2) 因为f1，所以sin1.因为0A，所以A，即A.sinBsinCsinBsinsinBcosBsin.因为0B，所以B，所以sin1，所以sinBsinC的最大值为.已知a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx，2cosx)，设f(x)ab.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 当x时，求函数f(x)的最大值和最小值解：(1) f(x)ab(cosxsinx)(cosxsinx)sinx2cosxcos2xsin2x2sinxcosxcos2xs
7、in2xsin.f(x)的最小正周期T.(2) 0x，2x，当2x，即x时，f(x)有最大值；当2x，即x时，f(x)有最小值1.1. (2013苏州期末)已知为锐角，sin(15)，则cos(215)_答案：解析：因为为锐角，且sin(15)，所以15(45，60)，230(90，120)，所以cos(230)12sin2(15)12，从而sin(230)，所以cos(215)cos(230)45cos(230)cos45sin(230)sin45.2. 函数f(x)coscos(x)的最小正周期为_答案：解析： f(x)sinx(cosxsinx)sin， T.3. 计算：_答案：解析：s
8、in30.4. 设、(0，)，且sin()，tan，则cos_答案：解析： tan， tan，而(0，)， .由tan及sin2cos21得sin，cos；又sin()， (，)，cos(). coscos()cos()cossin()sin.1. 已知函数f(x)sincoscos2.(1) 若f()，(0，)，求的值；(2) 求函数f(x)在上最大值和最小值解：(1) f(x)sinx(sinxcosx)sin.由题意知：f()sin，即sin.(0，)，即，即.(2) ， 即0，f(x)maxf，f(x)minf().2. 已知0，a(2sinxcosx，2sinxcosx)，b(sin
9、x，cosx)f(x)ab.f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是.(1) 求的值；(2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解：f(x)ab(2sinxcosx)sinx(2sinxcosx)cosx2sin2x3sinxcosxcos2x1cos2xsin2x(1cos2x)(sin2xcos2x)sin.(1) 因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是，所以函数f(x)的最小正周期T，则1.(2) 1，f(x)sin. x， 2x，则当2x，即x0时，f(x)取得最小值1；当2x，即x时，f(x)取得最大值.3. 设函数f(x)(sinxcosx)22cos2x(0)的最小
10、正周期为.(1) 求的最小正周期；(2) 若函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象向右平移个单位长度得到，求yg(x)的单调增区间解：(1) f(x)(sinxcosx)22cos2xsin2xcos2xsin2x1cos2xsin2xcos2x2sin2，依题意得，故的最小正周期为.(2) 依题意得g(x)sin 2sin2，由2k3x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故yg(x)的单调增区间为(kZ)4. 设函数f(x)sinxcosxcos2xa.(1) 写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 当x时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求a的值解：(1) f(x)sin2xasina， T.由2k2x2k，得kxxk.故函数f(x)的单调递减区间是(kZ)(2) x， 2x. sin1.当x时，原函数的最大值与最小值的和为， a0.1. (1) 三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分(2) 三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手：(1) 看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化(2) 看函数：统一函数，向结果中的函数转化请使用课时训练(A)第6课时(见活页)备课札记