1、 2019-2020学年度湖南师范大学附属定安中学高三第二次月考数学试卷本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（共60分)一、单选题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1已知集合，则=（ ）ABCD2设，则ABCD3在等差数列中，则（ ）ABCD4函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）ABCD5已知，则（ ）ABCD6直线是平面外的一条直线，下列条件中可推出的是（ ）A与内的一条直线不相交B与内的两条直线不相交C与内的无数
2、条直线不相交D与内的任意一条直线不相交7函数的零点所在的区间为（ ）ABCD8已知向量，且，则的值是（）ABC3D9已知定义在R上的奇函数满足，当时，则AB2CD10将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象过点，则的最小值为（ ）ABCD11已知，函数，且对任意的实数，恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD12已知双曲线的一个焦点F与抛物线的焦点相同，与交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D第II卷（共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分。13曲线在点处的切线的方程为_14已知向量与的夹角为，则_15在中，角，的对边分别为，且满足条件，则的周
3、长为 16在中，已知，是斜边上任意一点（如图），沿直线将折成直二面角（如图）若折叠后两点间的距离为，则的最小值为_三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17已知等差数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值18已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且求角A；若，求的面积19如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.20袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数学5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字.（1）求取出的
4、3个小球上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量的分布列和期望.21已知椭圆的短轴长为4，离心率为，斜率不为0的直线与椭圆恒交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.22设函数（1）判断单调性；（2）证明：当时，参考答案1 A 2C 3D 4D 5A 6D 7C 8A 9A 10C 11B 12D13141151617（1）；（2）625（1），由得，得：，解得故，（2）由（1），得由二次函数的性质，当时有最大值62518(1)；(2).解：由正弦定理可得：，即，由余弦定理，可得：，可得：，解
5、得：，负值舍去，19（1）证明见解析；（2）.(1)如图所示，连结，等边中，则平面ABC平面，且平面ABC平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合平面，故.(2)在底面ABC内作EHAC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF与平面所成角为，则.20（1）；（2）的分布列见解析；期望是解:（1）一次取出的个小球上的数字互不相
6、同的事件记为则为一次取出的个小球上有两个数字相同（2）由题意可知所有可能的取值为：2，3，4，5；的分布列为：2345则21(1) . (2) 直线过定点.解：（1）由题，所以椭圆的标准方程为.（2）由题设直线：，联立直线方程和椭圆方程得，.因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，所以，即，4，经验证，所以直线过定点.22（1）见解析 （2）见解析（1）由题设，的定义域为，令，解得 当时，单调递增；当时，单调递减 （2）证明：当x（1，+）时，即为lnxx1xlnx由（1）可得f（x）lnxx+1在（1，+）递减，可得f（x）f（1）0，即有lnxx1；设F（x）xlnxx+1，x1，F（x）1+lnx1lnx，当x1时，F（x）0，可得F（x）递增，即有F（x）F（1）0，即有xlnxx1，则原不等式成立；