1、第二章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(每小题5分,共50分)1.设a,bR,且a2+2b2=6,则a+b的最小值是()A.-C.-3D.答案:C2.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若ab,则9x+3y的最小值为()A.C.12D.6解析:ab,4(x-1)+2y=0.2x+y=2,y=2-2x,9x+3y=9x+32-2x=32x+32-2x当且仅当32x=32-2x,即x.答案:D3.若5x1+6x2-7x3+4x4=1,则AC.3D答案:B4.若,为锐角,AC答案:A5.y=xA.1B.2C解析:令x=cos ,0,则y=cos +sin 答案:C6.已知2x+
2、3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为()AC.1解析:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(22+32+42)(2x+3y+4z)2=100,则x2+y2+z2当且仅,取到最小值,所以联x答案:B7.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为()AC解析:由柯西不等式,得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2(1x+3y+5z)2当且仅当x.答案:C8.已知x,y,z(0,+),A.5B.6C.8D.9解析:x=9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立.答案:D9.设m,n为正整数,m1,n1,且log3mlog3n4,则m+n的最
3、小值为()A.15B.16C.17D.18解析:4log3mlog3n(log3mn)216,mn34.m+n232=18,当且仅当m=n时等号成立.答案:D10.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m与n,3m+2n的最大值是()A.35B.37C. 38D.41答案:B二、填空题(每小题5分,共25分)11.y=logsin x(x3+2x2+x)的定义域是.解析:2kx(2k+1),且x2k.答案:12.函数y解析:由柯西不等式,得y(1当且仅当sin =cos ,即.答案:3+13.已知x解析:x又y=4x-2=-2+3=1,当且仅当5-4xx=1时等号
4、成立,ymax=1.答案:114.若x+y+z+t=4,则x2+y2+z2+t2的最小值为.解析:(x2+y2+z2+t2)(12+12+12+12)(x+y+z+t)2=16,当且仅当x=y=z=t=1时等号成立,故x2+y2+z2+t2的最小值为4.答案:415.已知x,y,zR,有下列不等式:x2+y2+z2+32(x+y+z);|x+y|x-2|+|y+2|;x2+y2+z2xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是.答案:三、解答题(本大题共3个小题,共25分)16.(8分)已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等恒成立,求的取值范围.解:由基本不等式及柯西不等式,得x=y=z时等号成立.故参数的取值范围17.(8分) P是ABC内一点,x,y,z分别是点P到ABC的三边a,b,c的距离,R是ABC外接圆的半径,证明证明由柯西不等式,设S为ABC的面积,则ax+by+cz=2S于故原不等式成立.18.(9分)某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是长、宽分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8 m2,问x,y分别为多少时用料最省?(精确到0.001 m)解:由题意,得xy故y框架用料长度l=2x+2y+当且仅x,此时x2.343,y=2.828.故当x约为2.343 m,y约为2.828 m时,框架用料最省.
