1、2016-2017学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）AB5CD102若f（x0）=3，则=（）A3B12C9D63下列命题错误的是（）A命题“若m0则方程x2+xm=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+xm=0无实根则m0”B对于命题p：“xR使得x2+x+10”，则p：“R，均有x2+x+10”C若pq为假命题，则p，q均为假命题D“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件4设f（x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）
2、的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）ABCD5已知动圆P过定点A（3，0），并且与定圆B：（x3）2+y2=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是（）A线段B直线C圆D椭圆6已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A3B2C1D7已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为（）AB2CD38设P为双曲线x2=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（）AB12CD24二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9命题xR，x2x+30的否定是10方程+=1表示焦点在y轴上
3、的椭圆，则实数k的取值范围是11点P（8，1）平分双曲线x24y2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是12已知函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13已知条件p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0；条件q：实数x满足82x+116（1）若a=1，且“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围14求下列双曲线的标准方程（1）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）的双曲线；（2）以椭圆3x2+13y2=39的焦
4、点为焦点，以直线y=为渐近线的双曲线15统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x3x+8（0x120）已知甲、乙两地相距100千米（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16已知f（x）=x2+2xf（1），则f（0）等于（）A4B0C2D217下列命题中，真命题是（）Ax0R，e0BxR，2xx2Ca+b=0的充
5、要条件是=1Da1且b1是ab1的充分条件18设f（x），g（x）在a，b上可导，且f（x）g（x），则当axb时有（）Af（x）+g（a）g（x）+f（a）Bf（x）g（x）Cf（x）g（x）Df（x）+g（b）g（x）+f（b）19已知椭圆C： +=1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=（）A4B8C12D16二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20若点A的坐标为（，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为21已知f（x）=xe
6、x，g（x）=（x+1）2+a，若x1，x2R，使得f（x2）g（x1）成立，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22已知椭圆C1： +x2=1（a1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1（）求椭圆C1的标准方程；（）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当OBC面积最大时，求直线l的方程23已知函数（1）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在（0，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若a0，且对任意x1，x2（0，+）
7、，x1x2，都有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|，求实数a的最小值2016-2017学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）AB5CD10【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的标准方程，可求得p，再根据抛物线焦点到准线的距离是p，进而得到答案【解答】解：2p=10，p=5，而焦点到准线的距离是p故抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5故选B2若f（x0）=3，则=（）A3B12C9D6【考点】导数的运算【
8、分析】根据= 4=4（）=4f（x0），利用条件求得结果【解答】解：f（x0）=3，则 = 4=4（）=4f（x0）=4（3）=12，故选：B3下列命题错误的是（）A命题“若m0则方程x2+xm=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+xm=0无实根则m0”B对于命题p：“xR使得x2+x+10”，则p：“R，均有x2+x+10”C若pq为假命题，则p，q均为假命题D“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件【考点】复合命题的真假；四种命题间的逆否关系；命题的否定【分析】根据逆否命题的定义判断A是否正确；根据特称命题的否定来判断B是否正确；利用复合命题真值表判断C是否正确；根据充分不必要条
9、件的定义判断D的正确性【解答】解：根据命题的条件、结论及逆否命题的定义，写出命题的逆否命题，判断A正确；根据特称命题的否定是全称命题，判断B正确；根据复合命题的真值表，pq为假命题，P、q至少有一个是假命题，C不正确；x=1x23x+2=0；而x23x+2=0则x=1是假命题，D正确故选C4设f（x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）ABCD【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间【解答
10、】解：由y=f（x）的图象易得当x0或x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（，0）和（2，+）上单调递增；当0x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C5已知动圆P过定点A（3，0），并且与定圆B：（x3）2+y2=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是（）A线段B直线C圆D椭圆【考点】圆方程的综合应用【分析】设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径，根据椭圆的定义，可得结论【解答】解：如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离
11、之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故选D6已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A3B2C1D【考点】导数的几何意义【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）曲线的一条切线的斜率为，y=，解得x0=3或x0=2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A7已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为（）AB2CD3【考点】椭圆的简单性质【分析】求出椭圆焦距的长，长轴的长，然后求解离心率即可【解答】
12、解：长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆，可得2c=4，2a=3+=8，所以椭圆的离心率为：e=故选：A8设P为双曲线x2=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（）AB12CD24【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线定义得|PF1|PF2|=2a=2，所以，再由PF1F2为直角三角形，可以推导出其面积【解答】解：因为|PF1|：|PF2|=3：2，设|PF1|=3x，|PF2|=2x，根据双曲线定义得|PF1|PF2|=3x2x=x=2a=2，所以，PF1F2为直角三角形，其面积为，故选B二
13、、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9命题xR，x2x+30的否定是xR，x2x+30【考点】命题的否定；特称命题【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定【解答】解：原命题为：xR，x2x+30原命题为全称命题其否定为存在性命题，且不等号须改变原命题的否定为：xR，x2x+30故答案为：xR，x2x+3010方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（12，15）【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【分析】利用椭圆的简单性质列出不等式求解即可【解答】解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得：k915k0，解得k（12，15）故答案为：（1
14、2，15）11点P（8，1）平分双曲线x24y2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是2xy15=0【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质【分析】设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点是P（8，1），知x1+x2=16，y1+y2=2，利用点差法能求出这条弦所在的直线方程【解答】解：设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点是P（8，1），x1+x2=16，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入双曲线x24y2=4，得，（x1+x2）（x1x2）4（y1y2）（y1+y2）=0，16（x1x2）8（y1y2）=0，k=
15、2，这条弦所在的直线方程是2xy15=0故答案为：2xy15=012已知函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（，1）（2，+）【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到0，进而可解出a的范围【解答】解：f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1f（x）=3x2+6ax+3（a+2）函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值=（6a）2433（a+2）0a2或a1故答案为：（，1）（2，+）三、解答题（本大题共有3个小
16、题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13已知条件p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0；条件q：实数x满足82x+116（1）若a=1，且“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；充要条件【分析】（1）通过解不等式得到条件p：ax3a，根据指数函数的单调性得到条件q：2x3，所以a=1时，p：1x3，而由p且q为真知p真q真，所以x满足，解该不等式即得实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，则a满足，解该不等式即得a的取值范围【解答】解：（1）由（xa）（x3a）0且a0，可得ax3a；当a
17、=1时，有1x3； 由82x+116，可得2x3；又由“p且q”为真知，p真且q真，所以实数x的取值范围是（2，3）；（2）由q是p的充分不必要条件可知：p得不到q，而q能得到p；，1a2；实数a的取值范围是（1，214求下列双曲线的标准方程（1）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）的双曲线；（2）以椭圆3x2+13y2=39的焦点为焦点，以直线y=为渐近线的双曲线【考点】双曲线的标准方程【分析】（1）求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为=1（20a20），将点（3，2）代入双曲线方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程（2）利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标，设=1（a0，b0）
18、，根据双曲线的渐近线为y=x求出a2，可得答案【解答】解：（1）双曲线=1的焦点为（2，0），设所求双曲线方程为： =1（20a20）又点（3，2）在双曲线上，=1，解得a2=12或30（舍去），所求双曲线方程为=1（2）椭圆3x2+13y2=39可化为+=1，其焦点坐标为（，0），所求双曲线的焦点为（，0），设双曲线方程为：=1（a0，b0）双曲线的渐近线为y=x，=，=，a2=8，b2=2，即所求的双曲线方程为： =115统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x3x+8（0x120）已知甲、乙两地相距100千米（）
19、当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【考点】利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用【分析】（I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可（II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可【解答】解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，令h（x）=0，得x=
20、80当x（0，80）时，h（x）0，h（x）是减函数；当x（80，120）时，h（x）0，h（x）是增函数当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25因为h（x）在（0，120上只有一个极值，所以它是最小值答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16已知f（x）=x2+2xf（1），则f（0）等于（）A4B0C2D2【考点】导数的运算【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f（1）的值【解答】解：由f（x）=
21、x2+2xf（1），得：f（x）=2x+2f（1），取x=1得：f（1）=21+2f（1），所以f（1）=2故f（0）=2f（1）=4，故选：A17下列命题中，真命题是（）Ax0R，e0BxR，2xx2Ca+b=0的充要条件是=1Da1且b1是ab1的充分条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】对于A，根据指数函数的图象与性质来分析；对于B，可举个反例说明其为假，如x=2时，左边=右边；对于C，因为是充要条件，所以要互相推出；对于D，只要能从左边推到右边即可【解答】解：A，根据指数函数的图象与性质可知ex0恒成立，故A假；B，举个反例说明其不成立即可，如x=2时，左边=右边，故B假；C，当a+
22、b=0且b0时，才能推出，所以不是充分条件，故C假；D，显然当a1且b1时，必有ab1成立，故D为真命题故选D18设f（x），g（x）在a，b上可导，且f（x）g（x），则当axb时有（）Af（x）+g（a）g（x）+f（a）Bf（x）g（x）Cf（x）g（x）Df（x）+g（b）g（x）+f（b）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】比较大小常用方法就是作差，构造函数F（x）=f（x）g（x），研究F（x）在给定的区间a，b上的单调性，F（x）在给定的区间a，b上是增函数从而F（x）F（a），整理后得到答案【解答】解：设F（x）=f（x）g（x），在a，b上f（x）g（x），F（x）=f（
23、x）g（x）0，F（x）在给定的区间a，b上是增函数当xa时，F（x）F（a），即f（x）g（x）f（a）g（a）即f（x）+g（a）g（x）+f（a）故选A19已知椭圆C： +=1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=（）A4B8C12D16【考点】椭圆的简单性质【分析】根据已知条件，作出图形，MN的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为2a即可求出|AN|+|BN|【解答】解：设MN的中点为D，椭圆C的左右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1
24、，DF2，F1是MA的中点，D是MN的中点，F1D是MAN的中位线；，同理；|AN|+|BN|=2（|DF1|+|DF2|），D在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：|DF1|+|DF2|=4，|AN|+|BN|=8故选：B二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20若点A的坐标为（，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（，1）【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】判断点与抛物线的位置关系，利用抛物线的性质求解即可【解答】解：点A的坐标为（，2），在抛物线y2=2x的外侧，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得
25、最小值就是MF的距离，F（，0），可得M的纵坐标为：y=1M的坐标为（，1）故答案为：（，1）21已知f（x）=xex，g（x）=（x+1）2+a，若x1，x2R，使得f（x2）g（x1）成立，则实数a的取值范围是a【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】x1，x2R，使得f（x2）g（x1）成立，等价于f（x）ming（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案【解答】解：x1，x2R，使得f（x2）g（x1）成立，等价于f（x）ming（x）max，f（x）=ex+xex=（1+x）ex，当x1时，f（x）0，f（x）递
26、减，当x1时，f（x）0，f（x）递增，所以当x=1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（1）=；当x=1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（1）=a，所以a，即实数a的取值范围是a故答案为：a三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22已知椭圆C1： +x2=1（a1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1（）求椭圆C1的标准方程；（）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当OBC面积最大时，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆
27、锥曲线的关系【分析】（）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程（）F2（0，1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程【解答】解：（）抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），c=1，又b2=1，椭圆方程为： +x2=1 （）F2（0，1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx1由消去y并化简得x24kx+4=0直线l1与抛物线C2相切于点A=（4k）244=0，得k=1切点A在第一象限k=1ll1
28、设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m22=0，=（2m）212（m22）0，解得设B（x1，y1），C（x2，y2），则， 又直线l交y轴于D（0，m）=当，即时，所以，所求直线l的方程为23已知函数（1）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在（0，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若a0，且对任意x1，x2（0，+），x1x2，都有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|，求实数a的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）把a=1代入函数解析式，求其导函数，由导函数大于0求函数f（x）的单调增
29、区间；（2）求原函数的导函数f（x）=，由函数f（x）在（0，+）上是增函数，说明其导函数在（0，+）上大于等于0恒成立，在导函数中x与（x+1）恒大于0，只需x+a0对x（0，+）恒成立，则a可求；（3）由（2）知，当a0时f（x）在（0，+）上是增函数，任取x1，x2（0，+），且规定x1x2，则不等式|f（x1）f（x2）|2|x1x2|可转化为f（x1）2x1f（x2）2x2恒成立，引入函数g（x）=f（x）2x，说明该函数为增函数，则其导函数在（0，+）上大于等于0恒成立，分离变量后利用基本不等式可求a的最小值【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+x2+1则f（x）=+x
30、令f（x）0，得，即，解得：x0或x1因为函数的定义域为x|x0，所以函数f（x）的单调增区间为（1，+）（2）由函数因为函数f（x）在（0，+）上是增函数，所以f（x）=0对x（0，+）恒成立 即x+a0对x（0，+）恒成立所以a0 即实数a的取值范围是0，+）（3）因为a0，由（2）知函数f（x）在（0，+）上是增函数因为x1，x2（0，+），x1x2，不妨设x1x2，所以f（x1）f（x2）由|f（x1）f（x2）|2|x1x2|恒成立，可得f（x1）f（x2）2（x1x2），即f（x1）2x1f（x2）2x2恒成立令g（x）=f（x）2x=，则g（x）在（0，+）上应是增函数 所以g（x）=+x+（a+1）2=0对x（0，+）恒成立即x2+（a1）x+a0对x（0，+）恒成立即a对x（0，+）恒成立因为=（x+1+3）32（当且仅当x+1=即x=1时取等号），所以a32所以实数a的最小值为322017年2月18日