1、第五章 平面向量教材分析补充(二)各中学教务处：现将高一数学第五章 平面向量部分教材补充练习(由人大附中周建华老师编写)转发给你们，请通知贵校高一数学教师根据北京市“空中课堂”讲授内容可挑选适当的题目提供给学生海淀教师进修学校数学教研室 200366、教材分析向量进入中学数学教材，是近几十年来国内外教学改革的一个重要特征从六十年代的新数运动到七十年代末的回到基础，许多国家的数学课程都不同程度地涉及到平面向量日本数学课程安排的必学内容较少，但却安排不少的向量知识作为必学内容前苏联也曾致力于用向量、变换等来处理欧氏几何我国人教社编写的高中数学实验课本，将向量作为高一的必学内容，是一个重大举措一、平
2、面向量的地位与作用在旧人教版教材中，平面向量安排在复数一章中，用向量表示复数、解释复数的运算，复数是重点新教材将向量自成一章，向量的运算和应用是重点1平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角、解析几何、立体几何的教学中，如利用向量处理传统内容在三角中应用：利用向量证明正弦定理、余弦定理，既简捷又易于接受；在立体几何、解析几何中应用：大纲中的9(B)方案，用空间向量证明直线与平面的性质定理，较好地处理直线与平面、平面与平面的位置关系，平面上涉及相关点的轨迹问题等；在复数中的应用：向量与复数结合，使复数更形象化，复数运算具有集合意义2平面向量是数形结合的桥梁可以将形的关系转化为代
3、数运算，建立有向线段、向量、坐标表示之间的联系，使平行、垂直、投影、两点间距离、线段定比分点，图形平移等问题代数化通过本章的学习，使学生深刻体会形数结合的数学思想3平面向量的观点、方法在物理和其它学科中有广泛的应用，如在位移（三角形法则）、力的合成与分解（平行四边形法则、平面向量基本定理）、作功（向量的点积）中的应用更重要的是，要使学生明确之所以有这样广泛的应用，是因为数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，来源于生产生活实际，又为解决生产生活实际中的问题服务二、平面向量的知识结构三大部分第一部分：向量的有关概念及向量的加、减、数乘、数量积的运算；第二部分：向量的坐标表示及相应向量运算的坐
4、标表示，重点是两个非零向量平行与垂直的条件第三部分：向量的三个应用，定比分点公式、图形平移公式、证明正弦定理及余弦定理和解三角形三、平面向量的教学目标和要求教学大纲对平面向量有关知识具体规定了六个条目、四个层次的教学目标：1三个了解：向量共线；向量的基本定理；利用数量积可以处理长度、角度和垂直的问题2三个理解：向量的概念；向量的坐标表示；向量共线的充要条件3九个掌握：向量的几何表示；四种运算；向量的运算；向量垂直的充要条件；三个公式：两点间距离公式，定比分点公式（中点公式），平移公式4两个熟练运用：两点间距离公式；定比分点公式四、平面向量的教材特点1直线性与螺旋式相结合从向量有关概念、表示、运
5、算，到基本定理、三个应用逐步提高，而在讲完向量基本定理后即引入用坐标表示向量及其运算、各种关系，既对前面已有的概念进行复习，又将抽象的运算、关系数量化，加深理解2严谨性与量力性相结合作为科学的向量处理，当然是采用概念、运算（法则）、性质、应用这种方式，现行教材从现实背景、已知概念引入新概念，如向量概念的引入，用有向线段表示向量，采用引入新数的方法引入向量的有关概念（相反向量）和运算，不追求体系的完整与深化3巩固性与发展性相结合知识的传授在于学生能力的发展教材一方面注意知识的及时巩固，另一方面注意学生运算能力、实际操作能力的发展如通过画图、坐标运算、三个应用的穿插安排，及时巩固对概念、运算法则的
6、理解，着眼于运算的熟练程度、公式的正确使用和向量能处理什么样的问题五、对新课标中的解读新一轮的课改，提出了凸现知识技能、过程方法和情感态度三位一体的课程目标具体地说，知识技能目标包括知识领域的（“了解”、“理解”与“掌握”），技能领域的“能（会）”：能根据要求完成特定的数学任务；“熟练”：能正确、迅速地根据要求完成特定的数学任务，能灵活、合理地选择与应用有关的方法过程方法目标包括“经历”：参与特定的数学活动“探索”：通过自己的活动，发现某个对象的某些特征或与其他对象的联系；在过程中，能寻找合适的方法情感态度目标包括“兴趣与动机”：能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲；“自信与意志”：
7、在数学学习中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；“态度与习惯”：养成尊重客观事实的态度，并具有创新的精神，以及独立思考与合作交流的习惯那么，上述总的目标又如何落实到常规的课堂教学之中呢？以知识技能为例，中学数学内容一般分为数学基础知识和数学思想方法两个方面，教材均按知识纵向编排，而思想方法只能蕴涵其中因此，学生往往只注意知识的学习，至于知识产生的数学生长点，联结知识的思想方法极易被学生忽视，从而形成从书本到书本，惟解题而解题，死记硬背，机械模仿的格局数学教学中存在三种思路：数学家的思路（蕴涵在课本数学知识中）、数学教师的思路和学生的思路数学教学中的“思路教学”的对策有，深钻教材，追
8、踪数学家的思路；稚化模拟，展现教师思路；放手探索，激活学生思路、补充练习（二）一、选择题1点在线段的延长线上，且，则点分所成的比为 （ ） 2已知点，点在直线上，且，则点的坐标为 （ ） 3已知，则在上的投影为 （ ） 4下列命题正确的是 （ ） 在方向上的投影等于在方向上的投影与在方向上的投影之和5已知、是夹角为的两个单位向量，则和的夹角为 （ ） 6将曲线按向量平移后，得到的曲线的方程为 （ ） 7将函数的图象按向量平移后所得图象的解析式是 （ ） 8、两点分别在轴和轴上，的中点为，则等于 （ ） 9设是任意的非零向量，且相互不共线，则下列四个命题： ； ；不与垂直； ；其中，是真命题的有
9、 （ ） 10在边长为的正三角形中，设，则等于（ ） 二、填空题11按向量将点平移至点，则点按向量平移后的点的坐标为 12，则13点关于点的对称点的坐标是 14已知，则与的夹角为 15在中，已知，且，则的形状是 16给出下列命题：；设是两个非零向量，则；若直线按向量平移得到直线，则向量是唯一的 其中，正确命题的序号是 三、解答题17已知均为非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角18如图，在正方形中，分别为的中点，求证：19已知的顶点坐标分别为，是的中点，求边上的高与边上的中线的交点分所成的比及点坐标附：参考答案一、1.D 2.C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.A 8.D 9.D 10.C二、11. 12. 13. 14. 15.正三角形 16.三、17 18提示：设，证明 19求得点的横坐标为，
