1、圆锥曲线小题一、选择题1(2021年高考全国甲卷理科)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为()ABCD【答案】A解析：因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即故选：A2(2021年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是()ABCD【答案】C3(2020年高考数学课标卷理科)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A2B3C6D9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得故选：C4(2020年高考数学课标卷理科)设为
2、坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为()A4B8C16D32【答案】B解析：双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B5(2020年高考数学课标卷理科)设双曲线C：(a0，b0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为P是C上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为4，则a=()A1B2C4D8【答案】A解析：，根据双曲线的定义可得，即，即，解得，故选：A6(2020年高考数学课标卷理科)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两
3、点，若，则的焦点坐标为()ABCD【答案】B解析：因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B7(2019年高考数学课标卷理科)双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为()ABCD【答案】A【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，故选A8(2019年高考数学课标全国卷理科)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为()ABCD【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即，故选A9(2
4、019年高考数学课标全国卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则()ABCD【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D10(2019年高考数学课标全国卷理科)已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点若，则的方程为()ABCD【答案】B解析：如图，设，则，由，可得，所以点为椭圆的上顶点或下顶点在中，由余弦定理可得，所以，即，即，又，所以椭圆方程为11(2018年高考数学课标卷（理）)设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为()ABCD【答案】C解析：法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点作渐近线的垂线，该垂线的方程为，联立方程
5、，解得由整理可得即即即，所以，所以，故选C法二：由双曲线的性质易知，所以在中，在中，由余弦定理可得所以，整理可得，即所以，所以，故选C12(2018年高考数学课标卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为()ABCD【答案】D解析：因为为等腰三角形，所以，由余弦定理得，所以，而，由已知，得，即，故选D13(2018年高考数学课标卷（理）)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为()ABCD14(2018年高考数学课标卷（理）)已知双曲线,为坐标原点，为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则()ABCD【答案】B解析：双曲
6、线的渐近线方程为：，渐近线的夹角为：，不妨设过的直线为：，则解得;解得：，则，故选B15(2018年高考数学课标卷（理）)设抛物线的焦点为过点且斜率为的直线与交于两点，则()ABCD【答案】D解析：抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：，联立直线与抛物线，消去可得：，解得，不妨，则，故选D16(2017年高考数学新课标卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为()ABCD【答案】A【解析】设,直线方程为取方程,得同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知当且仅当(或)时,取得等号 17(2017年高考数学课标卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分
7、别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为()ABCD【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切所以圆心到直线的距离，整理可得所以，故选A18(2017年高考数学课标卷理科)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为()ABCD【答案】B【解析】由渐近线的方程，可设双曲线的方程为又椭圆的焦点坐标为所以，且，故所求双曲线的方程为：，故选B19(2017年高考数学课标卷理科)若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为()A2BCD【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐
8、进线的距离为， 圆心到渐近线的距离为，即，解得解法二：待定系数法设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为， 圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率关系为，解得解法三：几何法从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为由于，可得，渐近线的斜率与离心率关系为，解得解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标系方程：，可得极坐标方程，由可得极角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以，渐近线的斜率与离心率关系为，解得解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为， ， 点的坐标为，代入圆
9、方程中，解得20(2016高考数学课标卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为()ABCD【答案】A【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,由OBECBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.21(2016高考数学课标卷理科)已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为()ABCD2【答案】A【解析1】由题可令，则 所以，所以，所以故选22(2016高考数学课标卷理科)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点已知，则的焦点到准线的距离为()(A)2(
10、B)4(C)6(D)8【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图：设，点在抛物线上，点在圆上，点在圆上，联立解得：，焦点到准线的距离为 故选B23(2016高考数学课标卷理科)已知方程Error! No bookmark name given.表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是()(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】表示双曲线，则，由双曲线性质知：，其中是半焦距焦距，解得故选A24(2015高考数学新课标2理科)已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为()ABCD【答案】D解析：设双曲线
11、方程为，如图所示，过点作轴，垂足为，在中，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D考点：双曲线的标准方程和简单几何性质25(2015高考数学新课标1理科)已知是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是()A(-，)B(-，)C(，)D(，)【答案】A解析：由题知，所以= =，解得，故选A26(2014高考数学课标2理科)设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于AB两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()ABCD【答案】D解析：由题意可知：直线AB的方程为：，带入抛物线的方程可得：，设，则所求三角形的面积为，故选D。27(2014高考数学课标1理科)已知抛物
12、线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则=()ABC3D2【答案】C【解析】:过Q作QM直线L于M,又,由抛物线定义知选C28(2014高考数学课标1理科)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为()AB3CD【答案】A解析:由:,得,设,一条渐近线,即,则点到的一条渐近线的距离=,选A 29(2013高考数学新课标2理科)设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则的方程为()A或B或C或D或解析：由题意知：，抛物线的准线方程为，则由抛物线的定义知，设以为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为，又因为圆过点，所以，又因为点在上，所以，解得或，所以抛物线的方程为或，
13、故选C30(2013高考数学新课标1理科)已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于AB两点。若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()ABCD【答案】解析：设，则=2，=2， -得，=，又=，=，又9=，解得=9，=18，椭圆方程为，故选D31(2013高考数学新课标1理科)已知双曲线：()的离心率为，则的渐近线方程为()ABCD【答案】C解析: 由题知，即=，=，=，的渐近线方程为，故选32(2012高考数学新课标理科)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，则的实轴长为()ABC4D8【答案】C解析：设等轴双曲线 ，则由抛物线得准线与抛物线的准线交于两点
14、，将A点坐标代入双曲线方程得33(2012高考数学新课标理科)设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为()ABCD【答案】C 解析：如上图，是底角为的等腰三角形可得=2c在中，即又，所以将等式两边同时除以a，得二、填空题34(2021年高考全国甲卷理科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_【答案】解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以， ，即四边形面积等于故答案：35(2021年高考全国乙卷理科)已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_【答案】4解析：由渐近线方程化简得，即
15、，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），故焦距故答案为：436(2020年高考数学课标卷理科)已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_【答案】2【解析】联立，解得，所以依题可得，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为故答案为：37(2019年高考数学课标卷理科)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限若为等腰三角形，则的坐标为_【答案】【解析】由已知可得，设点的坐标为，则，又，解得，解得（舍去），的坐标为法二、在得出，的坐标为法三、由题知，又由焦半径公式，得，从而得到，的坐标为38(2019年高考数学课标全国卷理科)已知双曲线的
16、左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点若，则的离心率为【答案】2解析：注意到，得到垂直平分，则，由渐近线的对称性，得，可得，所以，可得离心率39(2018年高考数学课标卷（理）)已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则解析：法一：抛物线的焦点坐标为，可设直线，联立方程，消去并整理可得所以，由点在抛物线上，可得，所以，由，可得，所以所以即所以即，解得故所求直线的斜率法二：抛物线的焦点，准线方程为由依题意可知以为直径的圆与准线相切于点，故线段中点的纵坐标为设直线，联立方程，消去并整理可得则有，解得故所求直线的斜率40(2017年高考数学新课标卷理科)已知双曲线的右顶点
17、为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点若,则的离心率为_【解析】如图所示,作因为圆与双曲线的一条渐近线交于两点,则为双曲线的渐近线上的点,且,因为,所以,到直线的距离,在中,代入计算得,即,由得,所以 41(2017年高考数学课标卷理科)已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 【答案】【解析】则，焦点为，准线，如图，为、中点，故易知线段为梯形中位线，又由定义，且，42(2015高考数学新课标1理科)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为。【答案】解析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为一、选择题1(2020年高
18、考数学课标卷理科)已知M：，直线：，为上的动点，过点作M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为()ABCD【答案】D【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，此时最小即，由解得，所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程故选：D2(2020年高考数学课标卷理科)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为()ABCD【答案】B解析：由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为由题意可
19、得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为故选：B3(2018年高考数学课标卷（理）)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是()ABCD【答案】A解法一：由直线易知，故圆的圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的取值范围为即所以，故选A解法二：设，则点到直线的距离，令，则代入圆的方程整理得：利用方程有解条件，则有注：此处也可利用线性规划寻求的范围解法三：利用三角换元设，则解法四：利用面积公式的坐标形式设则下同解法二注：当然也可把点设为三角形式，并且更加简单！利用面积的向量表达形式,在实际运算中还
20、是要转化为坐标形式才利于操作。4(2016高考数学课标卷理科)圆的圆心到直线的距离为1，则()ABCD【答案】A5(2015高考数学新课标2理科)过三点，的圆交轴于两点，则()AB8CD10【答案】C解析：由已知得，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C考点：圆的方程6(2013高考数学新课标2理科)已知点，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是()ABCD【答案】B二、填空题7(2016高考数学课标卷理科)已知直线:与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则_.【答案】4【解析】因为,且圆的半径为,所以圆心到直线的距离为,则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾斜角为,由平面几何知识知,在梯形中,.8(2014高考数学课标2理科)设点M(,1)，若在圆O: 上存在点N，使得OMN=45，则的取值范围是_【答案】解析：在坐标系中画出圆O和直线y=1，其中在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识，可得