1、课后导练基础达标1.(2x+)4的展开式中x3的系数是()A.6B.12C.24D.48解析:(2x+x)4=x2(1+2x)4,在(1+2x)4中,x的系数为22=24.答案:C2(全国高考卷)的展开式中常数项是()A.14B.-14C.42D.-42设(2x3-)7的展开式中的第r+1项是Tr+1= (2x3)7-r(-)r=(-1) r,当-+3(7-r)=0,即r=6时,它为常数项,(-1)621=14.答案:A3.二项式(a+2b)n展开式中的第二项系数是8,则它的第三项的二项式系数为()A.24B.18C.16D.6解析:T2=(2b)1=b,所以2n=8,n=4.所以=6.答案:
2、D4.(2005天津高考)设nN*,则=_.解析:+=.答案:5.(北京高考)的展开式中的常数项是_.(用数字作答)解析:Tr+1=.由题意知6- =0.r=4,即(x-)6的展开式中的常数项是第5项.T5=(-1)4=15.答案:156.求展开式中的常数项.解析:(x+ -1)5=(x+)-15,它的展开式通项为Tr+1=(-1)r(0r5,rN).当r=5时,T6=(-1)5=-1;当0r1,nN,且n2,求证: .证明:设na-1=x,则(x+1)n=a.欲证原不等式,即nx0.因为(x+1)n=+x+1x+1,即(x+1)nnx+1,原不等式成立.9.求展开式中的常数项.解析:把|x|
3、+暂时看成一项,按差的立方公式展开,然后逐项考察各项的常数项. 原式=(|x|+)3-3(|x|+)22+3(|x|+)22-23.(|x|+)3与12(|x|+)两项中均无常数项,而-6(|x|+)2的常数是-12,故原式展开式中的常数项为(-12)+(-8)=-20.10. 求展开式中的有理项.解析:先明确求展开式中的哪几项,进而求出这些项.展开式中的有理项,即为通项公式中x的指数为整数的项.Tr+1=,令Z,即4+Z,且0r9.r=3或r=9.当r=3时, =4,T4=(-1)3x4=-84x4;当r=9时, =3,T10=(-1)9x3=-x3.综合运用11. 在的展开式中,有理式的项
4、数为()A.1B.2C.3D.4解析:Tr+1=(-1)r,所以要使Tr+1为有理式,则为整数,即3-r+为整数.又0r10,所以r=2,5,8.答案:C12.已知的展开式中x3的系数为,常数a的值为_.解析:本题只与某一项有关,用通项公式,设第r+1项是含x3的项,则有,得=x3,故r-9=3,即r=8.所以.所以a=4.答案:413.(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为多少?(用数字作答)解析:(x+2)10(x2-1)=x2(x+2)10-(x+2)10.本题求x 10的系数,只要求(x+2)10展开式中x8及x10的系数,Tr+1=2r,取r=2,r=0得x8的系数为180;x10的系数为,所以所求系数为180-1=179.拓展探究14.已知f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、nN)的展开式中x的系数为19,求f(x)展开式中x2项系数的最小值.解析:f(x)=2+(m+n)x+,m+n=19,=m2+n2-(m+n)=-(m+n)=-19.当且仅当(m-n)2最小时,取最小值.又m+n=19,m=10,n=9或m=9,n=10时(m-n)2最小,此时,f(x)展开式中,x2项的系数最小值为-19=81.
