1、探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾课后练习（二）主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师题一： 下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n(n1)盆花，每个图案花盆总数为S，按此规律推断，S与n的关系式是_。 n=2 n=3 n=4S=3 S=6 S=9观察下列的图形中小正方形的个数，则第个图中有 个小正方形. n=1 n=2 n=3 n=4 n=5题二： 定义：称为个正数的“均倒数”.数列的前项的“均倒数”为，求的通项公式.题三： 对于给定的自然数，如果数列满足：的任意一个排列都可以在原数列中删去若干项后按数列原来顺序排列而得到，则称是“的覆盖数列”.如1,2
2、,1 是“2的覆盖数列”；1,2,2则不是“2的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列2,1，则以下四组数列中是 “3的覆盖数列” 为（ ）（A）1,2,3,3,1,2,3 （B）1,2,3,2,1,3,1 （C）1,2,3,1,2,1,3 （D）1,2,3,2,2,1,3题四： 向高为H的水瓶中注水,注满为止.试分别画出注水量与水深的函数关系的图象。题五： 现代社会信息瞬息万变，国际间对破译密码的难度要求越来越高.原文称为明文，密码称为密文，有一种密码把英文的明文按字母分解，其中英文的a,b,c,z这26个字母依次对应阿拉伯数字1，2，3，26，给出如下一个变换公式：,然后将明文转换成密文
3、，如8+13=17，即h变成q;5=3, 即e变成c.(1)按此规定，将明文good翻译成密文；(2) 按此规定，将密文shxc破译成明文；题六： 已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2010项满足（ ）A B C D题七： 已知向量u(x，y)，与向量v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示(1)证明：对任意的向量a、b及常数m、n，恒有f(manb)mf(a)nf(b)成立；(2)设a(1,1)，b(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；(3)求使f(c)(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标题八： 请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切
4、去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx（cm）（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾课后练习参考答案题一： 答案：S=3n3；详解：题目给出了“每条边（包括顶点）有n(n1)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去
5、。所以S=3n-3。设小正方形个数为观察图形,当n=1时, 当n=2时, 当n=3时, 当n=4时, 当n=5时,可得=.题二： 答案：详解:由“均倒数”定义：，两式相减，得 ，题三： 答案：C详解:1,2,3的排列有：1,2,3；1,3,2；2,1,3；2，3，1,；3，1，2；3，2，1；由定义得，A不是“3的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列3，2，1B不是“3的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列3，1，2；D不是“3的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列3，1，2；而C则符合要求题四： 详解:易知四个水瓶对应函数的定义域均为，而且都是单调递增的，唯一不同的是注水量关于水
6、深变化的快慢程度。由水瓶的形状，我们可以发现第一个水瓶当越大时变化越快，也就是说越大对应的值越大，所以函数对应的曲线在点处的切线的斜率随的增大而增大。故函数图象如图A所示：同理，第二个水瓶对应的函数曲线在点处的切线的斜率随的增大而减小，但始终大于0。第三个水瓶对应的函数曲线在点处的切线的斜率随的增大先减小后增大，但始终大于0。而第四个水瓶对应的函数则是关于的正比例函数。故函数图象分别如B,C,D.题五： 答案：dhho；love.详解:（1）g7=4d,o15=8h, d4+13=15o,所以明文good翻译成密文是dhho.(2)逆变换公式为.则s19219-26=12l,h828-1=15
7、o,x24224-26=22v,c323-1=5e,所以密文shxc破译成明文是love.题六： 答案：选B详解:将数列分组：设位于第组，由，解得，所以位于第63组中的第项，故题七： 答案：c(2pq，p)详解: (1)设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则manb(ma1nb1，ma2nb2)f(manb)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)mf(a)m(a2,2a2a1)，nf(b)n(b2,2b2b1)，mf(a)nf(b)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)，f(manb)mf(a)nf(b)成立(2)f(a)(1,211)(1,1)，f(b)(0,201)(0，
8、1)(3)设c(x，y)，则f(c)(y,2yx)(p，q)即c(2pq，p)题八： 答案：当x=15cm时，S最大；高与底面边长的比值为.详解: 由题意，知四个阴影等腰直角三角形底边长EF=(602x)cm (0x30)，腰长=EF=(30x)cm，正方形硬纸片内小阴影正方形边长=xcm；所以，折成正四棱柱的底面边长为xcm，高为(30x)cm；由上述分析，知包装盒侧面积S=4x(30x)= 8x(30x)=8(x2+30x)cm2，因为，x2+30x=(x15)2+225，所以，当x=15时，x2+30x的最大值为225；所以，当x=15cm时，S最大；由上述分析，知包装盒容积V=(x)2(30x)=2x2(30x)=2(x3+30x2)cm3；设g(x)=x3+30x2，由g(x)=3x2+60x=3x(x20)=0，得x=20或x=0；因为0x30，而当0x0， g(x)在(0,20)上为增函数；当20x30时，g(x)0，g(x)在(20,30)上为减函数；所以，当x=20时，g(x)取极大值，此极大值亦即g(x)在(0,30)上的最大值；综上，知当x=20cm时，容积V最大；此时，包装盒高=(30x)cm=10cm，底面边长=xcm=20cm，=，即包装盒容积最大时，x=20cm，高与底面边长的比值为.