1、 第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）5.5.2节简单的三角恒等变换属于新授课.本节的内容是简单的三角恒等变换，主要内容是利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等属性思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数
2、学建模的核心素养。课程目标学科素养1能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用2了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 3体会知识之间的内在联系，培养学生的思考归纳能力，提高其思维灵活性.a.数学抽象：公式的应用；b.逻辑推理：公式之间的联系；c.数学运算：运用公式求值；d.直观想象：公式的灵活运用；e.数学建模：运用三角公式解决实际问题；教学重点：体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用教学难点：了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌
3、握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用多媒体教学过程设计意图核心教学素养目标（一）创设问题情境提出问题学习了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ，从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更加丰富 例试以cos表示 sin22, cos22, tan22解：是2的二倍角在倍角公式cos2=1-2sin2中，以代替2，以2代替，得cos=1-2sin22,所以sin22=1-cos2, 在倍角公式cos2=2cos2-1中，以代替2，以2代替，得cos=2cos22-1,所以cos2
4、2=1+cos2, 将两个等式的左右两边分别相除，得tan22=1-cos1+cos.例7的结果还可以表示为sincos_，tan_ 并称为半角公式，符号由所在的象限决定。归纳总结因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式这是三角恒等变换的一个重要特点例求证：（1）sincos=12sin+sin-, (2) sin+cos=2sin+2cos-2.这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？证明：（）因为sin+= sincos+ co
5、ssin,sin-= sincos-cossin,将以上两式的左右两边分别相加，得sin+sin-= 2sincos即sincos=12sin+sin-（2）由（1）可得sin+sin-= 2sincos设=+2，=-2.把，代入，即得sin+cos=2sin+2cos-2如果不用（）的结果，如何证明？归纳总结 例的证明用到了换元的方法如把+看作，-看作，从而把包含,的三角函数式转化为，的三角函数式或者，把sincos看作x，cossin看作y，把等式看作x， y的方程，则原问题转化为解方程（组）求x它们都体现了化归思想例 求下列函数的周期，最大值和最小值：（） y=sinx+3cosx；（）
6、 y=3sinx+4cosx分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y=Asin(x+),利用和角公式将其展开，可化为） y=asinx+bcosx的形式反之，利用和（差）角公式，可将 y=asinx+bcosx转化为y=Asin(x+) 的形式，进而就可以求得其周期和最值了解：（1）y=sinx+3cosx= 2（12sinx+32cosx）=2（sinxcos3+cosxsin3）=2sinx+3因此，所求周期为2，最大值为，最小值为你能说说这一步变形的理由吗？（）设y=3sinx+4cosx=Asinx+ , 则3sinx+4cosx=Asinxcos+Acosxsin于是Acos
7、=3Asin=4于是A2cos2+A2sin2=25所以A2=25.取A，则cos=35, sin=45由y=5sinx+可知，所求周期为2，最大值为5，最小值为5例10如图5.5-2，已知OPQ是半径为，圆心角为2的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记COP，求当角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积分析:要求当角a取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分二步进行.找出S与a之间的函数关系;由得出的函数关系,求S的最大值.解：在中,.在中,所以, ,所以, .设矩形的面积为,则.对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围: 由 , 得 .所以当 , 即时
8、, 因此,当时, 矩形的面积最大,最大面积为.注：（1）在求解最大值时，要特别注意 “”这一隐含条件;（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题.通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(wx+j)的函数,从而使问题得到简化。化归思想通过开门见山，提出问题，利用三角解决证明问题，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。通过对三角公式的灵活运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；三、当堂达标1若cos ，(0，)，则cos 的值为()AB C D【
9、解析】由题意知，cos 0，cos .【答案】C2已知cos ，则sin 等于()A B C D【解析】由题知，sin 0，sin .【答案】A3已知sin cos ，则sin 2的值等于()A B C D【解析】由sin cos ，(sin cos )212sin cos 1sin 2，所以sin 2.【答案】C4函数ysin 2xcos2x的最小正周期为_【解析】ysin 2xcos2xsin 2xcos 2xsin，函数的最小正周期T.【答案】5求证：4sin cos22sin sin 2.【证明】法一：左边2sin 2cos22sin (1cos )2sin 2sin cos 2sin
10、 sin 2右边，所以原式成立法二：右边2sin 2sin cos 2sin (1cos )2sin 2cos2 4sin cos2左边，所以原式成立6、如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最大？【精彩点拨】【解答】设AOB，OAB的周长为l，则ABRsin ，OBRcos ，lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )RRsinR.0，l的最大值为RR(1)R，此时，即，即当时，OAB的周长最大通过练习巩固本节所学知识，巩固对三角公式运用，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。四、小结1知识：如何采用两角和或差的正余
11、弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现. 如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题2思想：本节课通过由特殊到一般方式把关系式化成的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力. 通过探究如何选择自变量建立数学关系式，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识来源:学科五、作业1. 课时练 2. 预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
