1、A组考点能力演练1(2016沈阳一模)已知函数f(x)aln x(a0)，e为自然对数的底数(1)若过点A(2，f(2)的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x0时，求证：f(x)a；(3)若在区间(1，e)上eex0，即a0，解得x1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)的最小值为g(1)0，f(x)a.(3)由题意可知eex，化简得.令h(x)，则h(x)，由(2)知，当x(1，e)时，ln x10，h(x)0，即h(x)在(1，e)上单调递增，h(x)0得xe；由f(x)0得xe.此时f(x)在上单调递减，在(e，)上单调递增f(e)e2(ae)eaeln ee2
2、0，要使得f(x)在上有且只有两个零点，则只需faeln0，即a.当a0得xe；由f(x)0得axe.此时f(x)在(a，e)上单调递减，在和(e，)上单调递增f(a)a2aeaeln aa2aeaeln ea2e时，由f(x)0得xa，由f(x)0得exa，此时f(x)在和(a，)上单调递增，在(e，a)上单调递减，且f(e)e20，f(x)在上至多只有一个零点，不合题意综上所述，a的取值范围为.3已知函数f(x)ln xax(a是实数)，g(x)1.(1)当a2时，求函数f(x)在定义域上的最值；(2)若函数f(x)在1，)上是单调函数，求a的取值范围；(3)是否存在正实数a满足：对于任意
3、x11,2，总存在x21,2，使得f(x1)g(x2)成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由解：(1)当a2时，f(x)ln x2x，x(0，)，f(x)2，令f(x)0，则x1或x.当x时，f(x)0，所以f(x)在x处取到最小值，最小值为3ln 2；无最大值(2)f(x)a，x1，)，显然a0时，f(x)0，且不恒等于0，所以函数f(x)在1，)上是单调递增函数，符合要求当a0时f(x)在1，)上是单调递增函数，所以f(x)在1,2上是单调递增函数所以对于任意x11,2，f(1)f(x1)f(2)，即f(x1).g(x)，当x1,2时，g(x)0，所以g(x)在1,2上是单调递
4、减函数所以当x21,2时，g(x2).若对于任意x11,2，总存在x21,2，使得f(x1)g(x2)成立，则，此时a无解所以不存在满足条件的正实数a.B组高考题型专练1(2015高考广东卷)设a1，函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点；(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m 1.解：(1)f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex0，故f(x)是R上的单调递增函数，其单调增区间是(，)，无单调减区间(2)证明：因为f(0)(102)e
5、0a1a0，由零点存在性定理知，f(x)在(，)上至少有一个零点又由(1)知，函数f(x)是(，)上的单调递增函数，故函数f(x)在(，)上仅有一个零点(3)设点P(x0，y0)，由曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行知，f(x0)0，即f(x0)(x01)2ex00，(x01)20，x01，即P(1,2e1a)由点M(m，n)处的切线与直线OP平行知，f(m)kOP，即(1m)2ema.由em1m知，(1m)3(1m)2ema，即1m ，即m 1.2(2015高考山东卷)设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；
6、(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值解：(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，所以a1.(2)k1时，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0,1时，h(x)110，所以存在x0(1,2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1,2)时，h(x)10，当x2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增所以k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根(3)由(2)知，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0，且x(0，x0)时，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0时，若x(0,1，m(x)0；若x(1，x0，由m(x)ln x10.可知00，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减可知m(x)m(2)，且m(x0)m(2)综上可得，函数m(x)的最大值为.