1、第5课时 平面的斜线基础认知自主学习【概念认知】1距离(1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和_间的距离，叫 作这个点到这个平面的距离(2)直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上_到这个 平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离 垂足 任意一点 2直线与平面所成的角【自我小测】1平面 内的MON60，PO 是 的斜线，PO3，POMPON45，那么点 P 到平面 的距离是()A 3 B3 34 C 32 D 33【解析】选 A.cos POMcos POHcos MOH，所以 22 32cos POH.所以cos POH 23.所以 sin POH 13，所以 P
2、HPOsin POH3 13 3.2如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 BC1 与平面 A1B1C1D1 所成的角为()A.30 B45 C60 D135【解析】选 B.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BB1平面 A1B1C1D1，BC1 在平面A1B1C1D1 中的射影为 B1C1，所以BC1B1 即为直线 BC1 与平面 A1B1C1D1 所成的角，在等腰直角三角形 BB1C1 中，BC1B145.3若斜线段 AB 的长是它在平面 上的射影长的 2 倍，则 AB 与平面 所成的角是()A60 B45 C30 D120【解析】选 A.斜线段、垂线段以及射影构成
3、直角三角形，如图所示，ABO 即是斜线 AB 与平面 所成的角，因为 AB2BO，所以 cos ABOOBAB 12，所以ABO60.4在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，体对角线 AC1与面 ABCD所成角的正弦值为_【解析】易知CAC1 就是 AC1 与面 ABCD 所成角，设正方体的棱长为 1，则 AC13，在直角三角形 CAC1 中，sin CAC1 13 33.答案：335如图，在三棱锥 S-ABC 中，SA底面 ABC，SA4，AB3，D 为 AB 的中点，ABC90，则点 D 到平面 SBC 的距离为_【解析】如图，过点 D 作 DESB 于点 E，因为 SA底面 ABC，且
4、 BC平面 ABC，所以 BCSA，因为ABC90，所以 BCAB，因为 SAABA，所以 BC平面 SAB，所以平面 SBC平面 SAB，SB 为交线因为 DESB，所以 DE平面 SBC，则 DE 的长即为所求，在 Rt ABS 中，sin SBASASB 43242 45，在 Rt DBE 中，DEBD sin EBD12 345 65.答案：656如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角【解析】连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O，如图设正方体的棱长为 a，因为A1B1B1C1，A1B1B1B，所以 A1B1平面 BCC
5、1B1，又 BC1平面 BCC1B1.所以 A1B1BC1，又因为 BC1B1C，且 A1B1B1CB1，所以 BC1平面 A1B1CD.所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角在 Rt A1BO 中，A1B 2 a，BO 22a，所以 BO12 A1B，BA1O30.因此，直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30.学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1在正三棱锥 P-ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为 a，则点 P 到平面 ABC的距离为()Aa B 22a C 33a D 3 a【解析】选
6、C.作 PH平面 ABC 于 H，连接 CH 并延长，交 AB 于 D，连接 PD，由PHCDPCPD，求得 PH 33a.2在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，BB1 的中点，G为棱 A1B1 上的一点，且 A1G(01)，则点 G 到平面 D1EF 的距离为()A 3 B 22 C 23 D 55【解析】选 D.A1B1面 D1EF，所以 G 到面 D1EF 的距离为 A1 到面 D1EF 的距离在 A1D1E 中，过 A1 作 A1HD1E 交 D1E 于 H，显然 A1H面 D1EF，则 A1H 即为所求，在 Rt A1D1E 中，A1HA
7、1D1A1ED1E1121122 55.3正四面体 ABCD 的棱长为 a，E 是 AD 的中点，则点 D 到平面 BCE 的距离是()A 3a2 Ba2 C 2a2 Da【解析】选 B.由题意在正四面体 ABCD 中，ABD，ACD 均为正三角形所以BEAD，CEAD，因为 BECEE，所以 AD平面 BCE，则 DE 的长即为所求，DEAD2a2.4如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 CC1 的中点，则点 M 到平面 A1B1D 的距离为()A.24 B 34 C 22 D 32【解析】选 A.连接 B1C，过点 M 作 MEB1C 于点 E，因为 A1D
8、B1C，所以 A1，D，B1，C 四点确定一个平面，所以平面 A1B1D 即为平面A1B1CD.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，DC平面 BCC1B1，ME平面 BCC1B1，所以 MEDC，因为 MEB1C，所以 ME平面 A1B1CD，则 ME 的长即为所求在Rt CEM 中，CM12，ECM45，所以 ME 2CM2 24.5在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 C1C 的中点，则直线 BE 与平面 B1BD 所成的角的正弦值为()A 105 B 105 C 155 D 155【解析】选 B.取 B1D 的中点 O，连结 EO(图略)，则 EOAC，因为 AC平面
9、B1BD，所以 EO平面 B1BD，则EBO 就是直线 BE 与平面 B1BD 所成角的平面角，所以 sin EBOEOEB 105.6如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABAA11，则点 C 到平面 ABC1 的距离为()A.426 B 33 C 217 D2 37【解析】选 C.如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，C1E，过点 C 作 CFC1E，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1平面 ABC，则 ABCC1，因为 ABC 是等边三角形，所以 ABCE，又 CECC1C，所以 AB平面 CC1E，因为 CF平面 CC1E，所以 CFAB，所以 CF平面 ABC1，则
10、 CF 的长即为所求在 Rt CEC1中，CC11，CE 32AB 32，所以 C1ECC21 CE2 72，由等面积得 CFCC1CEC1E 217.二、多选题7已知平面 外两点 A，B 到平面 的距离分别是 2 和 4，则 A，B 的中点 P 到平面 的距离可能是()A1 B2 C3 D4【解析】选 AC.若 A，B 在 同侧，如图，则 P 到 的距离为 3；若 A，B 在 异侧，如图，则 P 到 的距离为 POOO321.8如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，SD底面 ABCD，则在下列说法中，正确的是()A.ACSBBAB平面 SCDCSA 与平面 ABD 所成的角等于 SC
11、与平面 ABD 所成的角DACSO【解析】选 ABCD.连接 SO，如图所示：因为四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，所以 ACBD，因为 SD底面 ABCD，所以 SDAC，因为 BDSDD，所以 AC平面 SBD，因为 SB平面 SBD，所以 ACSB，则 A 正确；因为 ABCD，AB平面 SCD，则 B 正确；因为 SD底面 ABCD，所以SAD 和SCD 分别是 SA 与平面 ABD 所成的角、SC 与平面 ABD 所成的角，因为 ADCD，SDSD，所以SADSCD，则 C 正确；因为 AC平面 SBD，SO平面 SBD，所以 ACSO，则 D 正确三、填空题9如图，在三棱锥 P
12、-ABC 中，PA平面 ABC，PAAB，则直线 PB 与平面 ABC所成的角等于_【解析】因为 PA平面 ABC，所以PBA 为 PB 与平面 ABC 所成的角，又 PAAB，所以PBA45.答案：4510如图所示，在 ABC 中，ACB90，AB8，BAC60，PC平面 ABC，PC4，M 为 AC 边上的一个动点，则 PM 的最小值为_【解析】作 CHAB 交 AB 于 H，连接 PH.因为 PC平面 ABC，所以 PHAB，则当点 M 在 H 处时，PH 最小因为 AC8cos 604，所以 CH4sin 602 3，所以 PHCH2PC2 2 7，即 PM 的最小值为 2 7.答案：
13、2 7四、解答题11如图所示，在棱长均为 a 的正三棱柱中，D 为 AB 中点，连接 A1D，DC，A1C.(1)求证：BC1平面 A1DC；(2)求 BC1 到平面 A1DC 的距离【解析】(1)如图所示，连接 AC1 交 A1C 于 E，连接 DE，则 DEBC1，而 DE平面A1DC，BC1平面 A1DC，所以 BC1平面 A1DC.(2)由(1)知 BC1平面 A1DC，所以 BC1 上任一点到平面 A1DC 的距离等于 BC1 到平面 A1DC 的距离所以求 C1 到平面 A1DC 的距离即可因为平面 A1DC 过线段 AC1 的中点，所以 A 到平面 A1DC 的距离等于 C1 到
14、平面 A1DC 的距离由题意知 CDAB，CDAA1，ABAA1A，所以 CD平面 ABB1A1.过 A 作平面 A1DC 的垂线，垂足 H 在 A1D 上在 Rt A1AD中，A1AADA1DAH，解得 AH 55a，即 BC1 到平面 A1DC 的距离为 55a.12如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACBC，ACBCCC1，M，N 分别是 A1B，B1C1 的中点(1)求证：MN平面 A1BC；(2)求直线 BC1 与平面 A1BC 所成的角的大小【思路导引】(1)连接 AC1证明 AC1平面 A1BC.连接 AB1，再证明 MN平面 A1BC.(2)连接 BD，则C1BD
15、 为直线 BC1 与平面 A1BC 所成的角【解析】(1)如图所示，由已知 BCAC，BCCC1，ACCC1C 得，BC平面 ACC1A1.连接 AC1，则 BCAC1.由已知，可知侧面 ACC1A1 是正方形，所以 A1CAC1.又BCA1CC，所以 AC1平面 A1BC.因为侧面 ABB1A1 是矩形，M 是 A1B 的中点，连接 AB1，则点 M 是 AB1 的中点又点 N 是 B1C1 的中点，则 MN 是 AB1C1 的中位线，所以 MNAC1.故 MN平面 A1BC.(2)因为 AC1平面 A1BC，设 AC1 与 A1C 相交于点 D，连接 BD，则C1BD 为直线BC1 与平面
16、 A1BC 所成的角设 ACBCCC1a，则 C1D 22a，BC1 2 a.在 Rt BDC1 中，sin C1BDC1DBC1 12，所以C1BD30，故直线 BC1 与平面A1BC 所成的角为 30.【综合突破练】一、选择题1在正三棱锥 S-ABC 中，底面是边长等于 2 3 的等边三角形，侧棱 SA4，则侧棱与底面所成的角为()A60 B45 C30 D75【解析】选 A.如下图所示：设点 S 在底面 ABC 的射影点为点 O，连接 SO，AO，则 AO 为 ABC 的外接圆半径，由正弦定理可得 2AO 2 3sin 60 4，则 AO2，因为 SO平面 ABC，AO平面 ABC，所以
17、 SOAO，所以 SOSA2AO2 2 3，设该正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，则 sin SOSA 32，因为 090，因此 60.2在四面体 ABCD 中，已知 ABAC，BDAC，那么点 D 在平面 ABC 上的射影H 必在()A直线 AB 上 B直线 BC 上C直线 AC 上 D ABC 内部【解析】选 A.在四面体 ABCD 中，因为 ABAC，BDAC，ABBDB，所以 AC平面 ABD，又 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 ABD，又平面 ABC平面 ABD直线 AB，故点 D 在平面 ABC 上的射影 H 必在直线 AB 上3已知平面 平面，直线 m，直线 n，点 Am，
18、点 Bn，记点 A，B 之间的距离为 a，点 A 到直线 n 的距离为 b，直线 m 和 n 的距离为 c，则()Abca BacbCcab Dcba【解析】选 D.如图：，考虑 m，n 异面时，m 和 n 的距离等于，间的距离，点 A 到 n 的距离为：过 A 作 AO 于 O，过 O 作 OCn 于 C，则 AC 为 A 点到直线 n 的距离，显然，此时 cba.4(多选)半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图
19、所示)，若它的所有棱长都为 2，则()A.BF平面 EABB该二十四等边体的体积为203C该二十四等边体外接球的表面积为 8DPN 与平面 EBFN 所成角的正弦值为 22【解析】选 BCD.对于 A，假设 A 对，即 BF平面 EAB，于是 BFAB，ABF90，但六边形 ABFPQH 为正六边形，ABF120，矛盾，所以 A 错；对于 B，补齐八个角构成棱长为 2 的正方体，则该二十四等边体的体积为 23813 12111203，所以 B 对；对于 C，取正方形 ACPM 对角线交点 O，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为 R 2，其表面积为 4R28，所以C 对；对于D，因为PN在
20、平面EBFN内射影为NS，所以PN与平面EBFN所成角即为PNS，其正弦值为PSPN 12 22，所以 D 对二、填空题5下列说法：平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0，2；直线与平面所成的角的取值范围是0，2；若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等其中正确的是_(填序号).【解析】应为0，2；中这两条直线可能平行，也可能相交或异面答案：6如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，底面是边长为 2 的菱形，且ABC45，PAAB，则直线 AP 与平面 PBC 所成角的正切值为_【解析】作 AEBC 于点 E，
21、连接 PE，则 BC平面 PAE，可知点 A 在平面 PBC 上的射影在直线 PE 上，故APE 为所求的角AEAB sin 45 2，所以 tan APEAEPA 22.答案：227已知正方形 ABCD 的边长为 1，线段 PA 垂直于平面 ABCD，且 PA1，则点 P到点 C 的距离为_【解析】如图，连接 AC，则 AC 2.又 PA平面 ABCD，AC平面 ABCD.所以 PAAC，又 PA1，所以在 Rt PAC 中，PC 3.答案：38如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB1 与平面 ADD1A1 所成的角等于_，AB1 与平面 DCC1D1 所成的角等于_【解析】B
22、1AA1 为 AB1 与平面 ADD1A1 所成的角，即 45；AB1 与平面 DCC1D1 平行，即所成的角为 0.答案：45 0三、解答题9如图，正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1，侧棱长为 2，E，F 分别为 CC1，DD1 的中点(1)求证：A1F平面 BEF；(2)求直线 A1B 与平面 BEF 所成的角的正弦值【解析】(1)连接 AF.因为 E，F 分别为 CC1，DD1 的中点，所以 EFAB 且 EFAB，所以四边形 ABEF 为平行四边形又在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB平面 AA1D1D，A1F平面 AA1D1D，所以 ABA1F，所以
23、EFA1F.由已知得 AF 2，A1F 2，AA12，所以 A1F2AF2AA21，所以 AFA1F.又 AFEFF，所以 A1F平面 ABEF，即 A1F平面 BEF.(2)因为 A1F平面 BEF.所以 A1B 在平面 BEF 上的射影为 BF，所以A1BF 为直线 A1B 与平面 BEF 所成的角由已知得 A1F 2，A1B 5，所以 sin A1BF 105，即 A1B 与平面 BEF 所成角的正弦值为 105.10如图，已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆上一点，AB2，AC1，P 为O 所在平面外一点，且 PA 垂直于O 所在平面，PB 与平面 ABC 所成的角为 45.(1)求
24、证：BC平面 PAC；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离【解析】(1)因为 PA平面 ABC，所以 PABC.因为 AB 是O 的直径，C 为圆上一点，所以 BCAC.又因为 PAACA，PA，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC.(2)如图，过点 A 作 ADPC 于点 D，因为 BC平面 PAC，AD平面 PAC，所以 BCAD，所以 AD平面 PBC，所以 AD 即为点 A 到平面 PBC 的距离因为PBA 为 PB 与平面 ABC 所成的角，即PBA45，所以 PAAB2，AC1，可得 PC 5.因为 ADPCPAAC，所以 AD215 2 55，即点 A 到平面 PBC 的距离为2 55.