1、难点 5 求解函数解析式求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.难点磁场()已知 f(2cosx)=cos2x+cosx,求 f(x1).案例探究例 1(1)已知函数 f(x)满足 f(logax)=)1(12xxaa(其中 a0,a1,x0),求 f(x)的表达式.(2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,f(x).命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用
2、知识的能力.属题目.知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域.错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法.解：(1)令 t=logax(a1,t0;0a1,t1,x0;0a1,x0)(2)由 f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得)0()1()1(21)0()1()1(21fcffbfffa并且 f(1)、f(1)、f(0)不能同时等于 1 或1，所以所求函数为：f(x)=2x21 或 f(x)=2x2+1 或 f(x)=x2x+1 或 f(x)=x2x1 或 f(x)=x
3、2+x+1 或 f(x)=x2+x1.例 2设 f(x)为定义在 R 上的偶函数，当 x1 时，y=f(x)的图象是经过点(2，0)，斜率为 1 的射线，又在 y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(1，1)的一段抛物线，试写出函数 f(x)的表达式，并在图中作出其图象.命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属题目.知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.技巧与方法：合理
4、进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.解：(1)当 x1 时，设 f(x)=x+b射线过点(2，0).0=2+b 即 b=2，f(x)=x+2.(2)当1x1 时 f(x)等于()A.f(x)=(x+3)21B.f(x)=(x3)21C.f(x)=(x3)2+1D.f(x)=(x1)21二、填空题3.()已知 f(x)+2f(x1)=3x,求 f(x)的解析式为_.4.()已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=_.三、解答题5.()设二次函数 f(x)满足 f(x2)=f(x2),且其图象在 y 轴上的截距为 1，在 x轴上截得
5、的线段长为 2，求 f(x)的解析式.6.()设 f(x)是在(,+)上以 4 为周期的函数，且 f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x)=2(x3)2+4，求当 x1,2时 f(x)的解析式.若矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 在 y=f(x)(0 x2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.7.()动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A出发顺次经过 B、C、D 再回到 A，设 x 表示 P 点的行程，f(x)表示 PA 的长，g(x)表示ABP 的面积，求 f(x)和 g(x),并作出 g(x)的简图.8.()已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的
6、周期函数，周期 T=5，函数 y=f(x)(1x1)是奇函数，又知 y=f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在 x=2 时，函数取得最小值，最小值为5.(1)证明：f(1)+f(4)=0;(2)试求 y=f(x),x1,4的解析式；(3)试求 y=f(x)在4，9上的解析式.参考答案难点磁场解法一：(换元法）f(2cosx)=cos2xcosx=2cos2xcosx1令 u=2cosx(1u3),则 cosx=2uf(2cosx)=f(u)=2(2u)2(2u)1=2u27u+5(1u3)f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+4(2x4)解法二：(配凑法）f(
7、2cosx)=2cos2xcosx1=2(2cosx)27(2cosx）+5f(x)=2x27x5(1x3),即 f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+14(2x4).歼灭难点训练一、1.解析：f(x)=34 xmx.ff(x)=334434xmxxmxm=x,整理比较系数得 m=3.答案：A2.解析：利用数形结合，x1 时，f(x)=(x+1)21 的对称轴为 x=1,最小值为1，又y=f(x)关于 x=1 对称，故在 x1 上，f(x)的对称轴为 x=3 且最小值为1.答案：B二、3.解析：由 f(x)+2f(x1)=3x 知 f(x1)+2f(x)=3x1.由上面两式联立
8、消去 f(x1)可得 f(x)=x2x.答案：f(x)=x2 x4.解析：f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知 c=0.又 f(x+1)=f(x)+x+1,a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1.故 2a+b=b+1 且 a+b=1,解得 a=21,b=21,f(x)=21 x2+21 x.答案：21 x2+21 x三、5.解：利用待定系数法，设 f(x)=ax2+bx+c,然后找关于 a、b、c 的方程组求解，f(x)=178722xx.6.解：(1)设 x1,2,则 4x2,3,f(x)是偶函数，f(x)=f(x),又因为
9、4 是 f(x)的周期，f(x)=f(x)=f(4x)=2(x1)2+4.(2)设 x0，1，则 2x+23,f(x)=f(x+2)=2(x1)2+4,又由(1）可知 x0,2时，f(x)=2(x1)2+4,设 A、B 坐标分别为(1t,0）,(1+t,0)(0t1),则|AB|=2t,|AD|=2t2+4,S 矩形=2t(2t2+4)=4t(2t2),令 S 矩=S，82S=2t2(2t2)(2t2)(3222222ttt)3=2764,当且仅当 2t2=2t2,即 t=36 时取等号.S227864 即 S9616,Smax=9616.7.解：(1)如原题图，当 P 在 AB 上运动时，P
10、A=x;当 P 点在 BC 上运动时，由 RtABDPA=2)1(1 x;当 P 点在 CD 上运动时，由 RtADP 易得 PA=2)3(1x;当 P点在 DA 上运动时，PA=4x,故 f(x)的表达式为：f(x)=)43(4)32(106)21(22)10(22xxxxxxxxxx(2)由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时，ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解.如原题图，当 P 在线段 AB 上时，ABP 的面积 S=0；当 P 在 BC 上时，即 1x2时，SABP=21 ABBP=21(x1）；当 P 在 CD 上时，即
11、 2x3 时，SABP=21 11=21；当 P 在 DA 上时，即 3x4 时，SABP=21(4x).故 g(x)=)43()4(21)32(21)21()1(21)10(0 xxxxxx8.(1)证明：y=f(x)是以 5 为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又 y=f(x)(1x1)是奇函数，f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0.(2)解：当 x1,4时，由题意，可设 f(x)=a(x2)25(a0),由 f(1)+f(4)=0 得 a(12)25+a(42)25=0，解得 a=2,f(x)=2(x2)25(1x4).(3)解：y=f(x)(1x1)是奇函数，f(0)=f(0),f(0)=0,又 y=f(x)(0 x1)是一次函数，可设 f(x)=kx(0 x1),f(1)=2(12)25=3,又 f(1)=k1=k,k=3.当 0 x1 时，f(x)=3x,当1x0 时，f(x)=3x,当 4x6 时，1x51,f(x)=f(x5)=3(x5)=3x+15,6x9 时，1x54,f(x)=f(x5)=2(x5)225=2(x7)25.f(x)=)96(5)7(2)64(1532xxxx.
