1、2.3.1.3 两角和与差的正切学习目标：1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式(重点)2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1两角和的正切公式T：tan()tan tan 1tan tan .2两角差的正切公式T：tan()tan tan 1tan tan .思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？提示(1)tan tan tan()(1tan tan)(2)1tan tan tan tan tan.(3)tan tan tan tan tan()tan()(4)tan tan 1t
2、an tan tan.基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在，R，使 tan()tan tan 成立()(2)对任意，R，tan()tan tan 1tan tan 都成立()(3)tan()tan tan 1tan tan 等价于 tan tan tan()(1tan tan)()解析(1)当 0，3时，tan()tan03 tan 0tan 3，但一般情况下不成立(2)两角和的正切公式的适用范围是，k2(kZ)且 tan cos 1.(3)当 k2(kZ)，k2(kZ)，k2(kZ)时，由前一个式子两边同乘以 1tan tan 可得后一个式子答案(1)(2)(3)2若 ta
3、n 3，tan 43，则 tan()等于()【导学号：79402121】A3B3C13D.13D tan()tan tan 1tan tan 343134313.3设 tan 12，tan 13，且角，为锐角，则 的值是_解析 tan 12，tan 13tan()tan tan 1tan tan 1213112131，又，均为锐角，即，0，20，则 4.答案 4 合 作 探 究攻 重 难利用公式化简求值 求下列各式的值：(1)tan 15；(2)1 3tan 753tan 75；(3)tan 23tan 37 3tan 23tan 37.思路探究 把非特殊角转化为特殊角(如(1)及公式的逆用(
4、如(2)与活用(如(3)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的解(1)tan 15tan(4530)tan 45tan 301tan 45tan 301 331 333 33 32 3.(2)1 3tan 753tan 75 33 tan 751 33 tan 75 tan 30tan 751tan 30tan 75tan(3075)tan(45)tan 451.(3)tan(2337)tan 60 tan 23tan 371tan 23tan 37 3，tan 23tan 37 3(1tan 23tan 37)，原式 3(1tan 23tan 37)3tan 23t
5、an 37 3.规律方法 1公式 T，T 是变形较多的两个公式，公式中有 tan tan，tan tan(或tan tan)，tan()(或 tan()三者知二可表示或求出第三个2一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos 75sin 75cos 75sin 75；(2)tan 36tan 84 3tan 36tan 84.【导学号：79402122】解(1)原式1tan 751tan 75tan 45tan 751tan 45tan75tan(4575)tan(30)tan 30 33.(2)原式tan 120(1tan 36tan 84)3tan
6、36tan 84tan 120tan 120tan 36tan 84 3tan 36tan 84tan 120 3.条件求值(角)问题 如图 3-1-2，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 210，2 55.(1)求 tan()的值；(2)求 2 的值图 3-1-2思路探究 先由任意角的三角函数定义求出 cos，cos，再求 sin，sin，从而求出 tan，tan，然后利用 T 求 tan()，最后利用 2()，求 tan(2)进而得到 2 的值解 由条件得cos 210，cos 2 55，为锐
7、角，sin 7 210，sin 55，tan 7，tan 12.(1)tan()tan tan 1tan tan 71217123.(2)tan(2)tan()tantan 1tantan 31213121，为锐角，0232，234.规律方法 1通过先求角的某个三角函数值来求角2选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好3给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角跟踪训练2(1)
8、已知 2，sin 35，求 tan4 的值；(2)如图 3-1-3 所示，三个相同的正方形相接，试计算 的大小图 3-1-3解(1)因为 sin 35，且 2，所以 cos 45，所以 tan sin cos 354534，故 tan4 tan tan41tan tan4341134 117.(2)由题图可知 tan 13，tan 12，且，均为锐角，tan()tan tan 1tan tan 1312113121.(0，)，4.公式的变形应用探究问题1判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？提示 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角
9、形等2在ABC 中，tan(AB)与 tan C 有何关系？提示 根据三角形内角和定理可得 ABC，ABC，tan(AB)tan(C)tan C.已知ABC 中，tan Btan C 3tan Btan C 3，且 3tan A 3tan B1tan Atan B，判断ABC 的形状思路探究 化简条件 求出tan A，tan C 求出角A，C 判断形状.解 由 tan Atan(BC)tan(BC)tan Btan Ctan Btan C1 3 3tan Btan Ctan Btan C1 3.而 0A180，A120.由 tan Ctan(AB)tan Atan Btan Atan B1ta
10、n Atan B3tan A 3tan B 33，而 0C180，C30，B30.ABC 是顶角为 120的等腰三角形规律方法 公式 T 的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在 T 中，如果分子中出现“1”常利用1tan 45来代换，以达到化简求值的目的，如1tan 1tan tan 4；3tan 31tan 3tan 4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan tan”及“tan tan”两个整体，常考虑 tan()的变形公式母题探究：(变条件)例题中把条件改为“tan Btan C 3tan Btan C 3，且33 tan A 33 tan B1tan Atan B”，结
11、果如何？解 由 tan Atan(BC)tan(BC)tan Btan Ctan Btan C1 3tan Btan C 3tan Btan C1 3.又 0A180，所以A60.由 tan Ctan(AB)tan Atan Btan Atan B1tan Atan B33 tan A 33 tan B 3.又 0C180，所以C60，所以B60.所以ABC 是等边三角形 当 堂 达 标固 双 基1.tan 75tan 151tan 75tan 15()A 2 B.2C 3D.3D 原式tan(7515)tan 60 3.2设角 的终边过点(2,3)，则 tan4()A.15B15C5 D5A
12、 由于角 的终边过点(2,3)，因此 tan 32，故 tan4 tan 11tan 32113215，选 A.3tan 10tan 20 3(tan 10tan 20)等于()A.33B1C.3D.6B 原式tan 10tan 20 3tan 30(1tan 10tan 20)tan 10tan 201tan 10tan 201.4计算3tan 151 3tan 15_.解析 3tan 151 3tan 15 tan 60tan 151tan 60tan 15tan 451.答案 15已知 tan()25，tan5 14，求 tan5 的值.【导学号：79402123】解 5()5，tan5 tan5tantan51tantan5251412514 322.