1、第六章不 等 式第4课时不等式的综合应用(对应学生用书(文)、(理)9192页)考情分析考点新知掌握不等式的综合应用；掌握基本不等式的综合应用；掌握不等式与其他函数方程等知识的综合应用应用性问题的基本思路：读题(背景、结论)条件建模解题反思作答.1. (必修5P102习题7改编)函数yx(x0)的值域是_答案：(，44，)解析：当x0时，yx24，当xq0，上述三种方案中提价最多的是_答案：方案丙解析：设原来价格为A，方案甲：经两次提价后价格为AA；方案乙：经两次提价后价格为A；方案丙：经两次提价后价格为AA1.因为，所以方案丙提价最多3. (2013海门联考)设xR，f(x)，若不等式f(x
2、)f(2x)k对于任意的xR恒成立，则实数k的取值范围是_答案：k2解析：不等式化为k，因为(0，1，所以k2.4. (2013苏州期中)设变量x，y满足|x|y|1，则x2y的最大值为_答案：2解析：作出可行域为正方形，4个顶点分别为(1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，1)，则zx2y过点(0，1)时最大值为2.备课札记题型1含参数的不等式问题例1若不等式组的解集中所含整数解只有2，求k的取值范围解：由x2x20有x1或x2，由2x2(52k)x5k0有(2x5)(xk)0.因为2是原不等式组的解，所以k2.由(2x5)(xk)0有xk.因为原不等式组的整数解只有2，所以2k3，即3k
3、2，故k的取值范围是3，2)不等式(1)na3；当n为偶数时，a2，而22，所以a.综上可得：3a.题型2不等式在函数中的应用例2已知函数f(x)在区间1，1上是增函数(1) 求实数a的值组成的集合A；(2) 设x1、x2是关于x的方程f(x)的两个相异实根，若对任意aA及t1，1，不等式m2tm1|x1x2|恒成立，求实数m的取值范围解：(1) f(x)，因为f(x)在1，1上是增函数，所以当x1，1时，f(x)0恒成立，令(x)x2ax2，即x2ax20恒成立解得1a1.所以Aa|1a1(2) 由f(x)得x2ax20.设x1，x2是方程x2ax20的两个根，所以x1x2a，x1x22.从
4、而|x1x2|，因为a1，1，所以3，即|x1x2|max3，不等式对任意aA及t1，1不等式恒成立，即m2tm20恒成立设g(t)m2tm2mtm22，则解得m2或m2.故m的取值范围是(，22，)设a，b0，且ab1，不等式恒成立，则的取值范围是_答案：1，)解析：因为ab1，所以1，所以1.题型3不等式在实际问题中的应用例3某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费
5、用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？解：设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则t，y灭火劳务津贴车辆、器械装备费森林损失费125xt100x60(500100t)125x100x30 000100(x2)31 450231 45036 450，当且仅当100(x2)，即x27时，y有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元某学校拟建一块周长为400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形
6、的长和宽？解：设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S m2，则半圆的周长为 m. 操场周长为400 m，所以2x2400，即2xy400. Sxy(2x)(y).由解得 当且仅当时等号成立即把矩形的长和宽分别设计为100 m和 m时，矩形区域面积最大1. (2013连云港模拟)关于x的不等式x2ax2a0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是_答案：解析：设方程x2ax2a0的两根为x1、x2，则1|x1x2|3，解得4a9或1a4.当4a9时，考虑抛物线的对称轴，因为4，集合A中恰有两个整数即4和5，所以53，解得a9；当1a4时，考虑抛物线的对
7、称轴，因为0，集合A中恰有两个整数即1和0，所以(1)1，解得1a.2. (2013天津)已知函数f(x)x(1a|x|)设关于x的不等式f(xa)f(x)的解集为A，若A，则实数a的取值范围是_答案：解析：由题意得0A，所以f(0a)f(0)，即a(1a|a|)0，显然a0，解得1a0，函数f(x)x(1a|x|)是奇函数且图象中两条抛物线的对称轴x，x之间的距离大于1，而1a0，所以f(xa)f(x)的解集为，所以(，)，解得a.又1a0，所以a0，b0，且1，则a2b的最小值为_答案：解析：2a4b3(2a4b3)(2ab)3(b1)1342，所以a2b.4. (2013天津)设ab2，
8、b0，则当a_时，取得最小值答案：2解析：2，当且仅当且a0取等号，即a2，b4.1. (2013徐州模拟)若对满足条件xy3xy (x0，y0)的任意x、y，(xy)2a(xy)10恒成立，则实数a的取值范围是_答案：解析：xy3xy，所以xy6，则axy，因为上述不等式右边的的最小值为6，故a.2. (2013苏州模拟)已知实数x、y满足不等式则的取值范围是_答案：解析：作出可行域，求得，令t，则t2，求导可得t2在上递减，在(1，2)上递增，故t2.3. (2013南通模拟)设P(x，y)为函数yx21(x)图象上一动点，记m，则当m最小时，点P的坐标为_答案：(2，3)解析：m6. 当
9、且仅当，即x2时m取得最小，此时点P的坐标为(2，3)4. (2013镇江模拟)已知x、y为正数，则的最大值为_答案：解析：设t(0，)，则令f(t)，求导得f(t)在(0，1)上递增，在(1，)上递减，故所求的最大值为f(1).1. 不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题2. 建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等3. 解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验备课札记
