1、二、探索性问题近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（
2、探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。存在
3、型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。探索性问题，是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分类讨
4、论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我们在学习中要重视对这一问题的训练，以提高我们的思维能力和开拓能力。、再现性题组：1.是否存在常数a、b、c，使得等式1223n(n1)(anbnc)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国理）2.已知数列，。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）【简解】1题：令n1、2、3代入已知等式列出方程组，解得a3、b11、c10，猜测a、b、c的值对所有的nN都成立，再运用数学归纳法进行证明。（属于是否存在型问题，也可属于猜想归纳型问题）2题：计算得到S、S、S、S，观察后猜测S，再运用数学
5、归纳法进行证明。、示范性题组：【例1】已知方程kxy4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图。（78年全国高考题）【分析】由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kxy4的特点，对参数k分k1、k1、0k1、k0、k1、k1、0k1、k0、k1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y轴上，a2，b; 当k1时，表示圆，圆心在原点，r2； 当0k1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在x轴上，a，b2； 当k0时，表示两条平行直线 y2； 当k0时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y轴上。 y y y y y x x x x x所有五种情况的简图依次如下所示：
6、【注】分类讨论型问题，把所有情况分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。【例2】给定双曲线x1， 过点A(2,0)的直线L与所给双曲线交于P及P，求线段PP的中点P的轨迹方程； 过点B(1,1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q、Q，且点B是线段Q、Q的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。（81年全国高考题）【分析】两问都可以设直线L的点斜式方程，与双曲线方程联立成方程组，其解就是直线与双曲线的交点坐标，再用韦达定理求解中点坐标等。【解】 设直线L：yk(x2) 消y得(2k)x4kx(24k)0 xx x 代入直线L得：y 消k得2x4xy0即1线段PP的中点
7、P的轨迹方程是：1 设所求直线m的方程为：yk(x1)1 消y得(2k)x(2k2k)x2kk30 xx22 k2代入消y后的方程计算得到：0，解得a24k4(k1)2，所以nk1时，结论也成立。综上所述，上述结论对所有的自然数n都成立。 设cb1（）1（2）（1）(1)bbbnccc（1）+（）()1(bbbn)(1)1【注】本题求数列的通项公式，属于猜想归纳型问题，其一般思路是：从最简单、最特殊的情况出发，推测出结论，再进行严格证明。第问对极限的求解，使用了“裂项相消法”，设立新的数列c具有一定的技巧性。此外，本题第问数列通项公式的求解，属于给出数列中S与a的函数关系式求a，对此类问题我们
8、还可以直接求解，解答思路是由aSS的关系转化为数列通项之间的递推关系，再发现数列的特征或者通过构造新的数列求解。具体的解答过程是：由题意有，整理得到S(a2)，所以S(a2)， aSS(a2)(a2)整理得到(aa)( aa4)0由题意a0可以得到：aa40,即aa4数列a为等差数列，其中a2，公差d4，即通项公式为a4n2。【例4】已知x0，x1，且x (nN)，比较x与x的大小。(86年全国理)【分析】比较x与x的大小，采用“作差法”，判别差式的符号式，分情况讨论。【解】xxx由x0及数列x的定义可知，x0，所以xx与1x的符号相同。假定x0；假设nk时1x0，那么当nk1时，1x10，因
9、此对一切自然数n都有1x0,即x1，当n1时，1x0；假设nk时1x0，那么当nk1时，1x10，因此对一切自然数n都有1x0,即xx。所以，对一切自然数n都有xx。【注】本题对1x的符号的探讨，由于其与自然数n有关，考虑使用数学归纳法解决。一般地，探索性问题与自然数n有关时，我们可以用归纳猜想证明的方法解出。、巩固性题组：1. 设a是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 . 证明： 0，使得0)，a (n2，nN)。 用a表示a、a、a； 猜想a的表达式，并证明你的结论。 A y B O C x6.在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且b、a、c成等差数列，bc。已知B(-1,0)、C(1,0)。 求顶点A的轨迹L； 是否存在直线m，使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q且|PQ|恰好等于原点O到直线m距离的倒数？若存在，求出m的方程；若不存在，说明理由。 P N B M AC D7.如图，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。 求证：MNAB； 若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为，能否确定，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由。