1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年高考真题和模拟题分类汇编数 学专题15 推理与证明一、选择题部分1.(2021贵州毕节三模文T9)如图，有甲、乙、丙三个盘子和放在甲盘子中的四块大小不相同的饼，按下列规则把饼从甲盘全部移到乙盘中：每次只能移动一块饼；较大的饼不能放在较小的饼上面，则最少需要移动的次数为（）A7B8C15D16【答案】C【解析】假设甲盘中有n块饼，从甲盘移动到乙盘至少需要an次，则a11，当n2时，可先将较大的饼不动，将剩余的n1块饼先移动到丙盘中，至少需要移动an1次，再将最大的饼移动到乙盘，需要移动1次，最后将丙盘中所有的丙移动到乙盘中，至少需要移动an1次，由上可知
2、，an2an1+1，且a11，所以a22a1+13，a32a2+17，a42a3+115，则最少需要移动的次数为15次2.(2021贵州毕节三模文T5)“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2015年是“干支
3、纪年法”中的（）A甲辰年B乙巳年C丙午年D乙未年【答案】D【解析】由题意可知，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”，2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，则2020年为庚子，2019年为己亥，2018年为戊戌，2017年为丁酉，2016年为丙申，2015年为乙未3.(2021江西九江二模理T9)古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一如图是三角
4、形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列an，四边形数组成数列bn，记cn，则数列cn的前10项和为（）ABCD【答案】D【解析】由题意可得，所以，设数列cn的前n项和为Sn，所以，所以4.(2021山东潍坊二模T6)关于函数f（x），其中a，bR，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；丁：方程f（x）有两个根若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（）A甲B乙C丙D丁【答案】B【解析】当x0，2时，f（x）2xa为增函数，当x2，+）时，f（x）bx为减函数，故6和4只有一个是函数的零点，即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，
5、而丙、丁均正确由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则f（0）20a0，得a1，若甲正确，则f（6）0，即b60，b6，可得f（x），由f（x），可得或，解得x或x，方程f（x）有两个根，故丁正确故甲正确，乙错误二、填空题部分5.(2021山西调研二模文T14)某校团委为高三学生筹备十八岁成人礼策划了三种活动方案，分别记作A、B、C，为使活动开展得更加生动有意义，现随机调查甲、乙、丙三位同学对三种活动方案的喜欢程度.甲说：“我不喜欢方案A，但喜欢的活动方案比乙多.”乙说：“我不喜欢方案B.”丙说：“我们三人都喜欢同一种方案”.由此可以判断乙喜欢的活动方案是_ .【答案】C【解析】从丙的说法中推
6、测乙肯定有喜欢的方案，从甲的说法中推测甲喜欢2种方案，不喜欢方案A，那么可以确定是B和C，再从乙的说法中可知，乙只喜欢一种方案，是方案C，故答案为：C.根据三个人所说内容，可以推断出乙只喜欢一种方案，又丙说：“我们三人都喜欢同一种方案”，所以可以判断乙喜欢的活动方案本题主要考查了简单的合情推理，考查了学生的逻辑推理能力，是基础题6.(2021山东聊城三模T13.)数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他写的算盘全书提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和在该数列的前2021项中，奇数的个数为_【答案】1348
7、【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】由斐波那契数列的特点知：从第一项起，每3个数中前两个为奇数后一个偶数，20213的整数部分为673，余数为2，该数列的前2021项中共有673个偶数，奇数的个数为2021-673=1348 .故答案为：1348【分析】由斐波那契数列的特点经过推理即可求得三、解答题部分7.(2021高考全国甲卷理T18) 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列：数列是等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【解析】选作条件证明时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；选作条件证明时，根据等
8、差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；选作条件证明时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列.选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，所以.选作条件证明：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.8.(2021江苏盐城三模T18)请在；这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1个评分)命题：已知数列满足an1an2，若
9、，则当n2时，an2n恒成立【考点】数列的通项公式求解与不等式的证明【解析】选证明：由an1an2，且，所以an0，所以lgan1lgan，lganlg2，an，5分当n2时，只需证明n，令bn，则bn1bn0，10分所以bnb21，所以n成立综上所述，当a12且n2时，an2n成立12分注：选为假命题，不得分，选参照给分9.(2021河南开封三模理T17)已知数列an满足a12，an+12an+4（1）求a2，a3，a4；（2）猜想an的通项公式并加以证明；（3）求数列|an|的前n项和Sn【解析】（1）由已知，易得a20，a34，a412（2）猜想因为an+12an+4，所以an+1+42
10、（an+4），则an+4是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以（3）当n1时，a120，S1|a1|2；当n2时，an0，所以，又n1时满足上式所以，当nN*时，10.(2021浙江杭州二模理T20)已知数列an，bn，满足an2n2，b2k1ak（kN*），b2k1，b2k，b2k+1成等差数列（1）证明：b2k是等比数列；（2）数列cn满足cn，记数列cn的前n项和为Sn，求Sn【解答】证明：（1）由数列an，bn，满足an2n2，b2k1ak（kN*），所以，由于b2k1，b2k，b2k+1成等差数列故，整理得（常数），所以数列：b2k是以为首项，公比为2的等比数列；（2）由于：
11、b2k是以为首项，公比为2的等比数列；所以，则2n3，所以（n1），则+，11.(2021浙江丽水湖州衢州二模T20)已知数列an是各项均为正数的等比数列，若a12，a2+a3是a3与a4的等差中项数列bn的前n项和为Sn，且Sn+2an2求证：（）数列anbn是等差数列；（）+2（1）【解答】证明：（）数列an是各项均为正数的等比数列，若a12，a2+a3是a3与a4的等差中项，由已知a3+a42（a2+a3），整理得a4a32a20设数列an的公比为q，则q2q20，解得q2或1（负值舍去）故由Sn+2an2当n1时，解得b11，当n2时，得：，解得所以anbnn，故（anbn）（an1bn1）1（常数），故数列anbn是等差数列（）由于，数列anbn是以1为首项，1为公差的等差数列，则：anbn1+（n1）n，所以，根据不等式，所以2，由于，所以+2（1）成立- 8 - 版权所有高考资源网