1、第五课时利用导数研究函数的零点问题(对应学生用书P40)利用图象研究函数的零点个数问题明技法含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数图象，根据图象特征求出参数的范围提能力【典例】 已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是()A(2，)B(，2)C(1，) D (，1)解析：选B法一由题意a0，由f(x)3ax26x0得x0或x.当a0时，f(x)在(，0)和上单调递增，在上单调递减且f(0)10，故f(x)有小于0的零点，不符合题意，排除A，C当a0且唯一，只需f0，即a24
2、，a2，故选B法二 f(x)有唯一正零点x0，等价于方程ax33x210有唯一正根x0，即a有唯一正根x0.令g(x)，g(x)，g(x)在(，1)上递减，(1,0)上递增，(0,1)上递增，(1，)上递减又g(1)2，g(1)2，且当x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)的大致图象如图：直线ya与yg(x)有唯一交点，且横坐标x00，只需a0)当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，F(x)0)恒成立故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a在区间，e上有两个不相等的实数解，令(x)(x，e)因为(x)，易判断(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)(2)()，所以(x)min(e)，故a的取值范围为a.
