1、20092013年高考真题备选题库第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲（选修4-5） 第7节 直接证明和间接证明考点 直接证明和间接证明 (2009广东，14分)已知曲线Cn：x22nxy20(n1,2，)从点P(1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn)(1)求数列xn与yn的通项公式；(2)证明：x1x3x5x2n1 sin.解：(1)直线ln的方程为ykn(x1)，kn0.代入曲线Cn的方程得：(k1)x22(nk)xk0.ln与Cn相切，方程有等根xn，4(nk)24(k1)k0kn，xn.ynkn(xn1)(1).(2)证明：由(1)知，xn，yn
2、.于是所证明的不等式变为sin(a)先证明：.(*)4n214n2，(2n1)(2n1)4n2(2n1)2(2n1)4n2(2n1). (b)再证明2sin.法一：令f(x)sinxx：则f(x)cosx.当x0，)时，f(x)0，所以f(x)在0，)上单调递增，又xn(0，)(n1)，f(xn)sin f(0)0.所以sin.故x1x3x5x2n1 sin.法二：令f(x)，则f(x)(xtanx)令g(x)xtanx，则g(x)1，所以，当x(0，)时，g(x)0，g(x)g(0)0.f(x)0，f(x)在0，上单调减少x(0，)(n1)，f(x)f()，所以sin.即sin.故x1x3x5x2n1 sin.
