1、73.4正切函数的性质与图像考点学习目标核心素养正切函数的定义域与值域掌握正切函数的定义域、值域数学抽象正切函数的单调性及应用会利用正切函数图像研究其单调性，并利用单调性解决其相应问题直观想象、逻辑推理正切函数的周期性与奇偶性掌握正切函数的周期性及奇偶性逻辑推理、数学运算 问题导学预习教材P54P56，并思考以下问题：1如何借助正切线画正切函数图像？2正切函数的性质与正弦函数性质有何不同？3正切函数在定义域内是不是单调函数？1正切函数的性质解析式ytan x定义域x|xk，kZ值域R周期奇偶性奇函数单调性在kZ内都是增函数零点k(kZ)2.正切函数的图像(1)ytan x的图像如图(2)一般地
2、，ytan x的函数图像称为正切曲线正切曲线是中心对称图形，其对称中心为(kZ)名师点拨 (1)正切函数在每一个开区间(kZ)内是增函数不能说函数在其定义域内是单调递增函数，无单调递减区间(2)画正切函数图像常用三点两线法：“三点”是指(，1)，(0，0)，(，1)，“两线”是指x和x，大致画出正切函数在上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yAtan(x)的周期公式为T.()(2)正切函数在R上是单调递增函数()(3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心()答案：(1)(2)(3) 函数y3tan x7的值域是()ARBx|xk，kZC(
3、0，)D.(kZ)解析：选A.因为ytan x，xR的值域为R，所以y3tan x7的值域也为R. ytan的定义域为_解析：因为2xk，kZ，所以x，kZ.答案： 函数ytan的单调增区间为_解析：令kxk，kZ，得kxk，即ytan的单调增区间为，kZ.答案：，kZ正切函数的定义域、值域问题(1)函数ylg(1tan x)的定义域是_(2)函数ytan(sin x)的值域为_(3)求函数ytan2x2tan x5，x的值域【解】(1)要使函数ylg(1tan x)有意义，则即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为.(2)因为1s
4、in x1，且1，1，所以ytan x在1，1上是增函数，因此tan(1)tan xtan 1，即函数ytan(sin x)的值域为tan 1，tan 1(3)令ttan x，因为x，所以ttan x，)，所以yt22t5(t1)26，抛物线开口向下，对称轴为直线t1，所以t1时，取最大值6，t时，取最小值22，所以函数ytan2x2tan x5，x的值域为22，6(1)求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即xk，kZ；求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对
5、于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围(2)解正切不等式的两种方法图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域要特别注意函数的定义域 求函数y的定义域解：根据题意，得解得(kZ)所以函数的定义域为(kZ)正切函数的奇偶性、周期性(1)函数y4tan的周期为_(2)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)tantan.【解】(1)由于3，故函数的周期为T.(2)由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是
6、奇函数函数的定义域为，关于原点对称，又f(x)tantantantanf(x)，所以函数是奇函数(1)函数f(x)Atan(x)周期的求解方法定义法公式法：函数f(x)Atan(x)的周期T.观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现(2)判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系 (1)求f(x)tan的周期；(2)判断ysin xtan x的奇偶性解：(1)因为tantan，即tantan，所以f(x)tan的周期是.(2)定义域为，关
7、于原点对称，因为f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，所以函数是奇函数正切函数的单调性及其应用(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小【解】(1)ytantan，由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)，所以函数ytan的单调递减区间是(kZ)，无增区间(2)因为tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又因为2，所以20，因为3，所以30，显然231，且ytan x在内是增函数，所以tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.(1)运用正切函数单调性比较大小的方法运用函数的周期性或诱导公式将角化到
8、同一单调区间内运用单调性比较大小关系(2)求函数yAtan(x)(A，都是常数)的单调区间的方法若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可 若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小解：(1)因为ytan x的单调递增区间为(kZ)，所以k2xk(kZ)，x，kZ，所以函数ytan的单调递增区间为kZ.无递减区间(2)由于tantantan tan ，tantanta
9、n ，又0，而ytan x在上单调递增，所以tan tan ，即tantan.1函数ytan x的值域是()A1，1B1，0)(0，1C(，1 D1，)解析：选B.根据函数的单调性可得2直线y3与函数ytan x(0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是()A B.C. D.解析：选C.直线y3与函数ytan x的图像的相邻交点间的距离为ytan x的周期，故距离为.3已知A为锐角，且tan A，那么下列判断正确的是()A0A30 B30A45C45A60 D60A90解析：因为1，由正切函数随锐角的增大而增大，得tan 30tan Atan 45，即30A45，故选B.4函数f(x)tan的定
10、义域是_，f_解析：由题意知xk(kZ)，即xk(kZ)故定义域为，且ftan.答案：A基础达标1函数ytan的定义域是()A.B.C.D.解析：选D.由xk得xk(kZ)，故选D.2已知函数f(x)tan，下列判断正确的是()Af(x)是定义域上的增函数，且周期是Bf(x)在(kZ)上是增函数，且周期是2Cf(x)在上是减函数，且周期是Df(x)在上是减函数，且周期是2解析：选C.利用正切函数的周期性和单调性可得3函数ytan x是()A增函数B偶函数C奇函数 D减函数解析：选C.函数ytan x的定义域关于原点对称，并且tan(x)tan x，所以它是奇函数，对ytan x只能说它在每一个
11、开区间，kZ上为增函数4函数ytan图像的对称中心为()A(0，0) B.C.，kZ D.，kZ解析：选D.由函数ytan x的对称中心为，kZ，令3x，kZ，则x(kZ)，所以ytan的对称中心为，kZ.故选D.5已知函数f(x)Atan(x)，yf(x) 的部分图像如图，则f()A2 B.C. D2解析：选B.由图像可知，T2，所以2，所以2k(kZ)又|，所以.又f(0)1，所以Atan1，得A1，所以f(x)tan，所以ftantan，故选B.6已知f(x)asin xbtan x1满足f(5)7，则f(5)_解析：因为f(5)asin 5btan 517，所以asin 5btan 5
12、6，所以f(5)asin(5)btan(5)1(asin 5btan 5)1615.答案：57已知函数ytan x在内是减函数，则的取值范围为_解析：由题意可知0，又，故10.答案：1|tan x|tan x0，恒成立，所以其定义域为，关于原点对称，又f(x)f(x)lg(tan x)lg(tan x)lg 10，所以f(x)为奇函数，故选A.12当x在0，2内时，使不等式tan x成立的x的集合是_解析：当tan x时，kxk，kZ，又因为x0，2，所以0x或x或x2.答案：13函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图像如图中的_解析：函数ytan xsin x|tan
13、 xsin x|故图像为.答案：14已知函数f(x)Atan(x)的图像与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，3)(1)求f(x)的解析式；(2)求满足f(x)的x的取值范围解：(1)由题意可得f(x)的周期为T，所以，得f(x)Atan，因为它的图像过点，所以A tan0，即tan0，所以k(kZ)，得k，又|，所以，于是f(x)Atan，又它的图像过点(0，3)，所以Atan3，得A3，所以f(x)3tan.(2)由(1)得3tan ，所以tan，得kxk(kZ)，解得x(kZ)，所以满足f(x) 的x的取值范围是(kZ)C拓展探究15设函数y10tan(2k1)，kN.当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义，求k的最小正整数值解：由题意可得，当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时，至少包含函数的2个周期，故函数的最小正周期T满足T，即，求得k，故k的最小正整数值为17.
