1、二元一次不等式（组）与平面区域二元一次不等式（组）与平面区域选自人教A版必修五第三章第三节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题的第一课时。一、【教学内容分析】二元一次不等式（组）所表示的平面区域是二元一次不等式（组）与平面区域的第一课时，在课型上属于规则教学课。首先，不等关系在现实世界、在我们的日常生活中大量存在着。事实上，任何人都需要对发生在我们周围的事物做出某种判断，判断有时需借助于量与量的比较来实现，而完成量与量比较的过程就是建立不等式这一数学模型的过程。其次，简单的线性规划问题在现实的生产、生活中经常用到，如资源利用、人力调配、生产安排等，通过本章第一节不等关系中学生已体验经历从实际
2、问题中得到二元一次不等式（组）这一数学模型的抽象过程，了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景，体现数学问题是客观存在的，是从实际问题中产生和发展的。再次，简单线性规划问题中的可行域，一般的就是一个二元一次不等式（组）表示的平面区域，因而能正确的画出给定的二元一次不等式（组）表示的平面区域，是学习简单线性规划问题图解法的重要基础。基于以上分析，本节课的教学重点为：确定二元一次不等式（组）所表示的平面区域以及由给出的平面区域写出对应的二元一次不等式（组）突出重点的手段：从学生原有的认知基础入手，抓住学生知识的生长点、情感的兴奋点，设计符合学生知识水平和学习心理的教学。二、【学生学情分析
3、】本节课的教学对象是高一学生。学生在本节课之前已经具备的认知基础有：首先，在必修二第三章学生已经学习了直线与方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系：二元一次方程的解为坐标的点都是直线上的点；直线上的点的坐标是二元一次方程的解，这为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。同时学生具备了一定运用数形结合思想方法的意识。其次，通过本章第一节不等关系的学习，学生已体验经历从实际问题中得到二元一次不等式（组）这一数学模型的抽象过程，了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景，体现数学问题是客观存在的，是从实际问题中产生和发展的。学生在本节课之前还需强化的认知有：这一节内容,是介绍直
4、线方程的简单应用(即简单的线性规划的基础)起到承前启后的作用。学生在前两节学习的基础上,对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成,但存在个别差异。因此，对不等式组，要强调其几何意义，从数思形，从形思数的过渡和提升，使学生进一步体会数形结合思想，而不是从纯数学角度提出问题，便于学生更容易接受。基于以上分析，本课的教学难点为：能确定二元一次不等式（组）所表示的平面区域三、【教学目标设置】1、了解二元一次不等式的几何意义，能准确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域；2、经历二元一次不等式表示的平面区域及判定方法的探究过程,培养学生探究问题的能力,会准确地阐述自己的思路和观点；3、运用集合的观点，通
5、过二元一次不等式（组）表示平面区域来使学生感受“数形结合”的数学思想，进而培养学生应用“数形结合”的思想来解决线性规划问题的意识。四、【教学策略】本节课是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次方程的几何意义的基础上，引领学生进一步研究二元一次不等式的几何意义，为后面学习用图解法解决二元线性规划求最值问题创造条件，同时也使学生体会数与形的转化过程，逐步加强学生应用几何图形解决代数问题的意识。基于以上分析,在教学中充分利用几何画板对直线Ax+By+C=0一侧的点A(x,y)的坐标进行跟踪显示，并将点A(x,y)的坐标代入Ax+By+C中，观察所得值的符号，由学生发现得到处于直线Ax+
6、By+C=0同侧的点的坐标代入Ax+By+C中符号相同，直线Ax+By+C=0异侧的点的坐标代入Ax+By+C中符号相反，由此得到判定直线Ax+By+C0(0)表示的是直线Ax+By+C=0那一侧的平面区域。从而有效地激发学生的学习兴趣，使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学变成对数学喜爱和乐意学。让学生通过“数学实验”去主动发现、主动探索，真正实现了直觉思维与逻辑思维的有机结合，不仅使学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运用能力都得到很好的训练，而且还有效地培养了发散思维能力，从而使学生的创造性思维得到了较好的发展。五、【教学过程】（一）创设情境，引入新课。创境：观赏
7、一段TED之数学是万物理解之源演讲视频片段。【设计意图及反思】：引领学生从思想意识上提高对数学的认识，从视觉冲击中让学生有意识的换角度从所见所闻中学到新知，为本节课的学习起到启发、铺垫和指导的作用。（二）探究新知、层层深入。温故知新：关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A,B不同时为零）的几何意义是什么？回顾概念：“直线的方程”与“方程的直线”。学生：积极思考、踊跃回答。教师：同学们回答得非常好,我们知道了二元一次方程的解为坐标的点都在直线上。反过来，直线上点的坐标都是二元一次方程的解教师：平面直角坐标系由无数多的点构成，而直线将平面直角坐标系分成几部分？落在直线上的直线上的点，满足二
8、元一次方程。落在直线外的平面区域的点满足怎样的代数关系呢？学生：独立思考猜想推广。【设计意图及反思】：几何与代数在平面直角坐标系纽带的衔接下，让学生的思维很自然地围绕着平面直角坐标系中点的归属开展本课的学习。在平面直角坐标系由无数多的点构成，落在直线上的点满足二元一次方程Ax+By+C=0，落在直线外的点又满足怎样的关系式呢？直线将平面直角坐标系分成三部分，具体的在直线两侧区域的点具有怎样的代数特征，很自然地引出本节课的课题-二元一次不等式（组）与平面区域。互动一：如何确定x-y6表示的是直线x-y=6那一侧的区域？学生：独立思考尝试合作交流动手作图。教法说明：刚入手学生有点茫然，教学中指导学
9、生完成教科书第83页的表3.1，让学生意识到给定自变量x,在直线上对应的y1随之确定，而相应满足不等式x-y6的纵坐标y2的取值却是一个范围。其次，借助几何画板对平面内点A的坐标进行追踪显示，并点A的坐标代入x-y-6中，观察所得值得符号，由学生发现得到处于直线同侧的点的坐标代入x-y-6中符号都相同，处于异侧的点的坐标符号不同。多角度得到判定x-y0若适合，则不等式表示原点所在的那一侧的平面区域， 若不适合，则不等式表示其异侧区域 （当原点在直线上时，也可找其他特殊点) 法二：函数思想转化成yf(x)或yf(x)表示函数f(x)图象上方的区域； yg(y)或xg(y)的形式xf(y)表示函数
10、f(y)图象右方的区域； xf(y)表示函数f(y)图象左方的区域。法三：直接根据x或y系数的符号和不等号方向判断如A与不等号同向，则位于直线右侧，反之左侧。如B与不等号同向，则位于直线上方，反之下方。互动二：课堂练习(一)(1)画出不等式y-3x+12表示的平面区域(2)画出不等式x2y表示的平面区域学生活动：通过学生动手画，口述等多种形式，将定域方法多样化【设计意图及反思】：通过课堂练习一，让学生对刚学知识理解应用，并发现利用函数思想定域等方法。y-3x+12例1：用平面区域表示不等式组 的解集。x2y【设计意图及反思】：将课堂练习一中的两个二元一次不等式联立得到二元一次不等式组，唤起学生
11、对二元一次不等式组解的回忆，使学生明确二元一次不等式组的解就是每一个二元一次不等式解集的交集，从而通过同化与顺应进而明确是二元一次不等式组的解集就是二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分。互动三：活动：课堂练习二【设计意图及反思】：通过课堂练习二，强化学生对所学知识的理解应用。这一块是本课的一大亮点，学生用自己的理解给出定域的方法。分别学生李心怡用减少变量的方法，令x=0代入不等式转化为y的不等关系结合定域。谢辰给出了一个很棒的定域方法（命名为谢氏定域大法），他抓住x轴向右越大，向左越小；y轴向上越大，向下越小这一特征，利用Ax、By 与不等号方向来定域。问题：加上条件,又会有什么变化呢？【
12、设计意图及反思】：再次强化学生对不等式定域的理解应用，同时也为现实的生产、生活中经常用到简单的线性规划问题，如资源利用、人力调配、生产安排等，埋下伏笔。（三）活学活用，学以致用班里计划用少于100元的钱购买单价分别为3元和1元的大、小彩球装点元旦晚会的会场，根据需要，大球数多于20个，小球数多于30个。设大球、小球个数分别为x个 ，y个。 （1） 请你列出满足上述条件的数学关系式，并画出相应的平面区域（2）结合本节课知识你能给出几种不同的购买方案？【设计意图及反思】：通过学生身边事，感受数学来自于生活，又服务于生活。了解不等式（组）的实际背景，引起学生由衷的用数学工具研究不等关系的愿望，也为后
13、续研究线性规划问题开辟道路。（四）课堂小结，系统归纳围绕以下五方面，谈谈本节课的收获1、概念-知道不等式的图象（几何意义）；2、方法-掌握定侧的方法；3、技能-会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域；4、思想-体会数形结合思想；5、能力-解决相关习题。【设计意图及反思】：围绕本课的内容及其反映的数学思想方法，以知识的发生发展过程为线索带领学生展开回顾，在此基础之上，再由学生畅所欲言学习本节课后的感受，让学生有的放矢，言之有物。这样可使学生头脑中形成关于本课内容的一个清晰的知识结构（包括相关知识的联系）（五）布置作业，巩固提升课后作业A级题：课本第93页A组 1，2 课本第103页A组 4B级
14、题：课本第93页习题B组 1，2课本第103页A组 4课后思考题： 已知点A(2,3),B(1,-3)及直线mx-y+m-1=0。求：（1）若A、B两点在直线的同侧，则m的取值范围是什么？（2）若A、B两点在直线的异侧，则m的取值范围是什么？（3）若直线与线段AB相交，则m的取值范围是什么【设计意图及反思】：通过分层设置和课后思考，将本课的而学习延伸到课下，巩固本节课的学习。（六）板书设计二元一次不等式（组）与平面区域代数 平面直角坐标系 几何直线二元一次方程Ax+By+C=0A,B不同时为零）线定界带等号实线不带等号虚线法定域Ax+By+C0 直线外的平面区域 实际问题Ax+By+C0 整点坐标特殊点法（同侧同号，异侧异号）谢氏定域大法函数思想【设计意图及反思】：板书作为向学生传达知识的重要媒介，不仅应该展现本节课的重点知识，也体现出本节课所运用的数学思想方法及本节课的设计思路。因此，板书依次呈现本节课知识生成和运用过程，便于学生在学习过程中反复的体会类比探究并以之指导自己的学习。
