1、2.1.4数乘向量学习目标：1.掌握数乘向量的定义并理解其几何意义(重点)2.理解数乘向量的运算律(重点)3.了解向量线性运算的性质及其几何意义(难点)自 主 预 习探 新 知1数乘向量(1)定义：实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a的长度|a|a|.若a0，当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反当0或a0时，0a0或00.(2)几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小(3)运算律：设，为实数，则()aaa；(a)()a；(ab)ab(分配律)2向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算思考：数乘向量与实数的乘法有什么区
2、别？提示(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数特别要注意0时，a0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成a0.(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如a，a是无法运算的基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)已知a，b是两个非零向量(1)a的方向与a的方向相同，且a的模是a的模的倍()(2)3a的方向与6a的方向相反，且3a的模是6a的模的.()(3)4a与4a是一对相反向量()(4)ab与(ba)是一对相反向量()(5)若a，b不共线，则0a与b不共线()解析(1)0，a与a同向，|a|a|，a的模是a的模的倍(2
3、)30，6a与a方向相同且|6a|6|a|，3a与6a方向相反且模是6a的模的.(3)由数乘定义和相反向量定义可知(4)ab与ba是相反向量，ab与(ba)是相等向量(5)0a0，0a与b共线答案(1)(2)(3)(4)(5)2(2ab)(2ab)等于()【导学号：79402061】Aa2bB2bC0 DbaB原式2a2abb2b.3若ae12e2，be12e2，则2a3b_.解析2a3b2(e12e2)3(e12e2)2e14e23e16e2e110e2.答案e110e2合 作 探 究攻 重 难数乘向量的概念(1)若两个非零向量a与(2x1)a方向相同，则x的取值范围为_(2)若平面内不共线
4、的四点O，A，B，C满足，则_.(3)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且ABAC23.用表示；用表示.思路探究根据数乘向量的定义运算求解解析(1)由定义可知，2x10，即x.(2)因为，所以，即，所以|，同理可得|，得2.答案(1)x(2)2(3)如图a，因为点C在线段AB的延长线上，且ABAC23，所以AB2BC，AC3BC.如图b，向量与方向相同，所以2；如图c，向量与方向相反，所以3.规律方法对数乘运算的理解，关键是对系数的作用的认识：0时，a与a同向，模是|a|的倍；0时，a与a反向，模是|a|的倍；0时，a0.注意：当0或a0时，a0.注意是0，而不是0.跟踪训练1设a是
5、非零向量，是非零实数，判断下列说法是否正确(1)a与a的方向相反；(2)|a|a；(3)a与2a方向相同；(4)|2a|2|a|.解由已知可得(1)若0，则a与a的方向相同，故(1)错误；(2)实数与向量不能比较大小，故(2)错误；(3)a与2a方向相同，故(3)正确；(4)|2a|2|a|正确.向量的线性运算(1)化简：(2a3bc)(3a2bc)_.(2)已知向量a，b，x，且(xa)(bx)x(ab)，则x_.思路探究(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简；(2)可类比解方程方法求解解析(1)(2a3bc)(3a2bc)2a3a3b2bcca5b2c.(2)因为(xa)(bx)x(a
6、b)，所以2xabxab，即：x0.答案(1)a5b2c(2)0规律方法向量数乘运算的方法：(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算跟踪训练2化简：的结果是()A2abB2baCba DabB原式(a4b4a2b)(6b3a)2ba.向量的线性运算在平面几何中的应用探究问题1怎样理解a的几何意义？提示a的几何意义就
7、是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍2如何用已知向量表示所求向量？提示在向量的线性运算中，用已知向量表示所求向量，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中，结合图形的有关性质及联想到相关的法则来求如图2138所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.图2138思路探究解答本题可先将，视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出，.解设x，y，则x，y.由，得用2乘以与相加得x2xe12e2，解得x(2e2e1)，即(2e2e1)，同理得y(2e1e2)，即e1e2.规律方法1由已知向量表示未知向量时，要善于
8、利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用2当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解跟踪训练3已知任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点求证：().【导学号：79402062】证明取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图E为AD的中点，.F是BC的中点，()又，()()，()()当 堂 达 标固 双 基1下列各式中不表示向量的是()【导学号：79402063】A0aBa3bC|3a|D.e(x，yR，且xy)C向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量2下列计算正确的个数是()(3)2a6a；
9、2(ab)(2ba)3a；(a2b)(2ba)0.A0B1C2 D3C因为(3)2a6a，故正确；中左边2a2b2ba3a成立，故正确；中左边a2b2ba00，故错误3将2(2a8b)4(4a2b)化简成最简式为()A2ab B2baCab DbaB原式(2a8b)(4a2b)ababa2b.4O为平行四边形ABCD的中心，4e1，6e2，则3e22e1_.解析设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则3e22e1.答案(或)5化简下列各式：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2)2(2a8b)4(4a2b)解(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b；(2)原式(4a16b16a8b)(12a24b)2a4b.