1、重庆市南开中学2020届高三数学下学期第六次教学质量检测试题 理（含解析）一、选择题1. 若集合，集合，则表示（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，进一步得到，再按交集的定义运算即可.【详解】由，得或，所以或，所以.故选：A【点睛】本题主要考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集运算以及解一元二次不等式，是一道容易题.3. 向量，向量.若，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得，再利用向量的坐标运算即可得到答案.【详解】由已知，又，所以，即，所以，解得.故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查学生的基本计算能力，是一道
2、容易题.4. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当时，被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，表示复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据欧拉公式将化简为，再利用复数模的计算公式计算即可.【详解】根据欧拉公式有，所以，.故选：B【点睛】本题主要考查复数模的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.5. 已知定义在上的奇函数满足：对任意的有恒成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知，可得是上的奇函数
3、且单调递增，所以，利用函数的单调性解不等式即可.【详解】对任意的有恒成立，可得是上的增函数，又是上的奇函数，所以，所以，解得，所以不等式的解集为.故选：D【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，考查学生转化与化归的思想，是一道容易题.6. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据框图写出每次结果即可【详解】当时，；第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，满足，退出循环，此时输出的x为.故选：B【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，解此类题关键是读懂程序，建议数据不大时采用写出来的办法，防止出错，是一道容易题.7
4、. 某超市销售的甲、乙两种品牌的腊肉各占，的份额，出厂时已知两种品种腊肉亚硝酸盐超标的概率分别为，.现一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，则该块腊肉亚硝酸盐超标的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出该块亚硝酸盐超标的腊肉来自甲、乙品牌的概率，相加即可得到所求事件的概率.【详解】设一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，该块腊肉来自甲品牌且亚硝酸盐超标为事件A，该块腊肉来自乙品牌且亚硝酸盐超标为事件B，则，则所求概率为.故选：A【点睛】本题考查互斥事件的概率，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.8. 一质地均匀的正方体的六个面分别标有数字，现连续抛掷该正方体次，发现落
5、地后向上数字大于的平均次数不小于，则抛掷次数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设表示抛掷n次落地向上数字大于的次数，则，由题意，利用二项分布的期望公式即可得到答案.【详解】由题意，每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于4的概率为，设表示抛掷n次落地向上数字大于次数，则，由题意，即，.故选：C【点睛】本题考查二项分布的均值，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.9. 已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】解：若与的对称中心相同，则函数的周期相同即，则，即由，即，即的对称中心为，即的对称中心为，则，
6、即，则，当，故选：10. 如图，已知点沿着半径为的半圆弧按逆时针方向从点行进到点（不含），由，线段围成的平面图形的面积记为，设，.则的图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，可得，进一步可得，通过分析的导函数即可得到答案.【详解】取AB的中点O，连接，因为，所以，则，所以，这说明在上是递减的，即的图象上点的切线的斜率大于0且随x增大越来越小，故选项A中的图象符合.故选：A【点睛】本题考查由解析式选择函数图象的问题，涉及到导数的几何意义，考查学生逻辑推理能力，数形结合的思想，是一道中档题.11. 若对任意，均存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.
7、 【答案】D【解析】【分析】设，均存在，使得成立，则，通过求导，可得，所以问题转化为对任意恒成立，令，求出即可.【详解】设，均存在，使得成立，则，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则对任意恒成立，令，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究双变量函数的问题，考查学生的逻辑推理能力，转化与化归的思想，是一道有一定难度的题.12. 已知是椭圆上的两个动点，则以为直角顶点的等腰直角的个数为（ ）A. B. C. D. 多于【答案】A【解析】【分析】当轴时，易得有两个满足条件的三角形，当不垂直于x轴时，通过分析可知点从左顶点运动到
8、右顶点的过程中，是逐渐减小的，可得此种情况没有满足题意的等腰直角三角形.【详解】当轴时，如图所示，显然有两个满足条件的三角形.当不垂直于x轴时，不妨假设，由复合函数单调性知，在上单调递减，所以点从左顶点运动到右顶点的过程中，不存在另一个异于的点，使得.综上，满足条件的三角形只有2个.故选：A.【点睛】本题考查椭圆中的存在性问题，考查学生数形结合思想、逻辑推理能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13. 设正数满足，则的最小值为_【答案】【解析】，则，则的最小值为.点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由，有，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中
9、，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14. 若的展开式中第四项为常数项，则n= .【答案】5【解析】【详解】试题分析：先将题中二项式进行化简得，由题意为常数项，则，解得.考点：1.二项式定理的应用；2.二项式的通项、系数、次数.15. 我国古代有辉煌的数学研究成果，其中周髀算经，九章算术，海岛算经，孙子算经，缉古算经均有着十分丰富的内容，是了解我国古代数学的重要文献，某中学计划将这本专著作为高中阶段“数学文化”样本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将门选完，则小南同学的不同选修方式有_种.【答案】【解析】【分析
10、】分小南高中三年选修的科目数为2，2，1和3，1，1两种情况讨论即可.【详解】根据题意，小南高中三年选修的科目数为2，2，1或3，1，1.若小南高中三年选修的科目数为2，2，1时，先将5门学科分成三组共种不同方式，再分配到高中三年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种；若小南高中三年选修的科目数为3，1，1时，先将5门学科分成三组共种不同方式，再分配到高中三年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种；由加法原理可知小南同学的不同选修方式有种.故答案为：【点睛】本题考查排列组合的综合应用，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.16. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围
11、是_.【答案】【解析】【分析】分段函数在在上单调递增，则每个分支所对应的函数在相应的区间上必须单调递增，且还要注意分段点处的函数值的大小.【详解】首先必须满足在分段点处有，另外，还需要满足两段函数在各自区间内单调递增，所以有，解得.综上，.故答案为：【点睛】本题考查已知分段函数函数的单调性求参数的范围，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17. 已知等差数列的前项和为，其中：，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，解方程组，再利用等差数列的通项公式计算即可；（2），利用裂项相消法求和
12、即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得：所以.（2）由（1）得，.【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及裂项相消法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18. 已知函数.（1）求的最小正周期和单调增区间；（2）在中，角的对边分别为.若，求的面积的取值范围.【答案】（1），单调递增区间是，.（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式可得，结合正弦函数的性质可得的周期以及单调递增区间；（2）由可得，所以，结合，进一步可得，即可得到答案.【详解】（1）的周期，由，得所以的单调递增区间是，.（2），即，又，由正弦定理有，.【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数以及解三角形中的应用，考
13、查学生的运算求解能力，是一道容易题.19. 跨年迎新联欢晚会简称跨年晚会，是指每年阳历年末12月31日晚上各电视台和政府为喜迎新而精心策划的演唱会活动，跨年晚会首次出现在港台地区，跨年晚会因形式和举办地不同因而名称也不同，如央视启航2020跨年盛典，湖南卫视跨年演唱会，东方卫视迎新晚会等.某电视台为了了解2020年举办的跨年迎新晚会观众的满意度，现分别随机选出名观众对迎新晚会的质量评估评分，最高分为分，综合得分情况如下表所示：综合得分观众人数510253015105根据表中的数据，回答下列问题：（1）根据表中的数据，绘制这位观众打分的频率分布直方图；（2）已知观众的评分近似服从，其中是反应随机
14、变量取值的平均水平的特征数，工作人员在分析数据时发现，可用位观众评分的平均数估计，但由于评分观众人数较少，误差较大，所以不能直接用位观众评分的标准差的值估计，而在这位观众打分的频率分布直方图的基础上依据来估计更科学合理，试求和的估计值（的结果精确到小数点后两位）.【答案】（1）见解析（2），.【解析】【分析】（1）分别计算每组的频率/组距即可；（2）由题意及已知可得，注意到中间三组的概率和为0.7，所以，或，分别讨论计算即可得到答案.【详解】（1）根据以上数据，求出各段的频率，绘制出频率分布直方图如下（2）因为第3，4，5组概率和为，所以要使，则，或，若，即整理得：即：，所以不满足，舍去；若，
15、则有整理得：，满足条件故.【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，涉及到正态分布的概念，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.20. 已知抛物线上的动点到圆上的点的最短距离为.（1）求圆的半径；（2）圆与轴的两个交点中，右边一个点为，过作直线与圆交于点，与抛物线交于，点，求的最大值.【答案】（1）1（2）【解析】 【分析】（1）利用P到圆心的距离减去圆的半径等于1计算即可； （2）显然直线的斜率存在且不能为，故设直线 ，由直线与抛物线方程联立得到的坐标的关系，进一步得到 ，由直线与圆的方程联立求得的纵坐标，利用 计算得到关于m的函数，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1） ， ， 由
16、条件知，即 ，所以. （2）易得 ，显然直线的斜率存在且不能为，故设直线， 设纵坐标分别为 ，由 ，得， ， 所以 ， 由 ，得 解得 或，所以 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系中的最值问题，涉及到直线与圆的位置关系，基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.21. 我们平时的导数学习中，见到过很多形形色色的函数，其实很多函数的形态是具有共性的，比如与，与等等.（1）已知，为正常数，分别求这两个函数在的最值.（2）证明：.【答案】（1），无最大值.，无最小值.（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数求得的单调性即可得到最值；
17、（2）原不等式可以变形为，设，只需证明即可.【详解】（1），当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.所以，无最大值.，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，无最小值.（2）原不等式可以变形为.设，易得在上单调递减，在上单调递增，所以.设，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.所以所以（因为两个函数的最值不能同时取得）.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、证明不等式，考查学生的逻辑推理能力，转化与化归的思想，是一道中档题.22. 直角坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）
18、若与直线的交点为，与曲线的交点分别为，且恰好为中点，求的值.【答案】（1）曲线（2）【解析】【分析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2），将代入中，得到，进一步得到的极坐标，再代入中计算即可.【详解】（1）将代入直线的普通方程，得，所以直线的极坐标方程为；曲线C的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）由条件设，由，得，因为为中点，所以，将代入中，得，所以.【点睛】本题考查直角坐标、极坐标、参数方程互化，考查学生的基本计算能力，是一道基础题 .23. 选修4-5:不等式选讲已知函数(1)若不等式恒成立,求实数的最大值;(2)当时,函数有零点,求实数的取值范围【答案
19、】(1)1.(2) - ,0 ).【解析】分析：第一问首先根据题中所给的函数解析式，将相应的变量代入可得结果，之后应用绝对值不等式的性质得到其差值不超过，这就得到| m |1，解出范围从而求得其最大值，第二问解题的方向就是向最小值靠拢，应用最小值小于零，从而求得参数所满足的条件，求得结果.详解：() f (x) =|x-a|+ ,f(x+m)=|x+m-a|+ ,f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a| m | , | m |1 , -1 m 1 , 实数 m 的最大值为 1 ; ( )当 a 时g(x)=f(x)+|2x -1|=|x-a|+|2x-1|+= g(x)min =g()=-a+ =0 , 或, -a0, 实数 a 的取值范围是 - ,0 ).点睛：该题考查的是有关不等式的综合题，在解题的过程中，需要明确绝对值不等式的性质，从而求得参数所满足的条件，从而求得结果，第二问就要抓住思考问题的方向，向最值靠拢，即可求得结果.- 21 -
