1、9.2两直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解.3.三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)
2、间的距离：|AB| .(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离：d .(3)两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20 (C1C2)间的距离为d.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点
3、到直线的距离.()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上.()2.若经过点(3，a)、(2,0)的直线与经过点(3，4)且斜率为的直线垂直，则a的值为()A.B.C.10D.10答案D解析2，a10.3.直线Ax3yC0与直线2x3y40的交点在y轴上，则C的值为_.答案4解析因为两直线的交点在y轴上，所以点在第一条直线上，所以C4.4.已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_.答案xy10或xy30解析设l1的方程为xyc0，则.|c1|2，即c1或c3.5.直线2x2y10，xy20之间的距离是
4、_.答案解析先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.题型一两条直线的平行与垂直例1已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.思维启迪本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况.解(1)由已知可得l2的斜率存在，k21a.若k20，则1a0，a1. l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾).此种情况不存在，k20.即k1，k2都存在，k21a，k1，l1l2，k1k21，
5、即(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或a2，b2或a，b2.思维升华当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)方法一当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不
6、平行于l2.当sin 0时，k1，k22sin .要使l1l2，需2sin ，即sin .所以k，kZ，此时两直线的斜率相等.故当k，kZ时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得2sin210，所以sin .又B1C2B2C10，所以1sin 0，即sin 1.所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.(2)因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件，所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.题型二两直线的交点例2过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2xy20和l2：xy30所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程.思维启迪求直线的方程一般需
7、要两个已知条件，本例已知直线l过一定点P(3,0)，还需要寻求另一个条件.这一条件可以是斜率k或另一个定点，因此，有两种解法.解方法一设直线l的方程为yk(x3)，将此方程分别与l1，l2的方程联立，得和解之，得xA和xB，P(3,0)是线段AB的中点，由xAxB6得6，解得k8.故直线l的方程为y8(x3)，即8xy240.方法二设l1上的点A的坐标为(x1，y1)，P(3,0)是线段AB的中点，则l2上的点B的坐标为(6x1，y1)，解这个方程组，得点A的坐标为(，)，由两点式可得l的方程为8xy240.思维升华(1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方
8、程组的解为坐标的点即为交点.(2)常见的三大直线系方程与直线AxByC0平行的直线系方程是A xBym0(mR且mC). 与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR).过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x 2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程.解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，(1)(1)(2
9、)120.解得.所求直线方程为2x7y50.题型三距离公式的应用例3正方形的中心在C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程.思维启迪借助平行直线系和垂直直线系设出其他三边所在直线的方程，利用正方形的中心到各边距离相等列出方程求直线系中的参数.解点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0， 则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边
10、所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.思维升华正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍.本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程.运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式.已知点P(2，1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离.(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(
11、2，1)，可见，过P(2，1)垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知，得2，解之得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由lOP，得klkOP1.所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50，即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且与原点距离为6的直线.题型四对称问题例4已知直线l：2x3y
12、10，点A(1，2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程.思维启迪解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题. 解(1)设A(x，y)，再由已知.解得A(，).(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上.设对称点为M(a，b)，则解得M(，).设m与l的交点为N，则由得N(4,3).又m经过点N(4,3)，由两点式得直线方程为9x46y1020.(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称
13、点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.思维升华解决成中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由垂直列一方程，由平分列一方程，联立求解.光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程.解方法一由得反射点M的坐标为(1,2).又取直线x2y50上一点P(5，0)，设P关于直线l的对称点P(x0，y0)，由PPl可知，kPP.而PP的中点Q的坐标为，Q点在l上，32
14、70.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.方法二设直线x2y50上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P(x，y)，则，又PP的中点Q在l上，3270，由可得P点的横、纵坐标分别为x0，y0，代入方程x2y50中，化简得29x2y330，所求反射光线所在的直线方程为29x2y330.转化与化归思想在对称问题中的应用典例：(12分)已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4).(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大.思维启迪处理此类解析几何最值问题时，一般转化为一条线段的长度来计算.规
15、范解答解(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则，解得，故A(2,8).3分P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，5分解得，故所求的点P的坐标为(2,3).7分(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，9分又直线AB的方程为yx2，解得，故所求的点P的坐标为(12,10).12分温馨提醒在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之和最小，则点P
16、必在线段AB上，故将l同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P到两定点A，B的距离之差最大，则点P必在AB的延长线、或BA的延长线上，故将l异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A， B为点A，B关于l的对称点).方法与技巧1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法.失误与防范1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，
17、要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.(2012浙江)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若直线l1与l2平行，则a(a1)210，即a2或a1，所以“a1”是“直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件.2.从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()A.x2y40B.2xy10C.x6y160D.6xy
18、80答案A解析由直线与向量a(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式知A正确.3.已知直线l过点P(3,4)且与点A(2，2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为()A.2x3y180B.2xy20C.3x2y180或x2y20D.2x3y180或2xy20答案D解析设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.4.设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边
19、长，则直线xsin Aayc0与bxysin Bsin C0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直答案C解析由，得bsin Aasin B0.两直线垂直.5.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所 经过的路程是()A.2B.6C.3D.2答案A 解析由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的 对称点为C(2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|2.二、填空题6.已知直线l1：ax3y10与直线l2：2x(a1)y10垂直，则实数a_.答案解析由两直线垂直
20、的条件得2a3(a1)0，解得a.7.若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是_.答案解析两直线xy10与xy30之间的距离为，又动直线l1与l2所截得的线段长为2，故动直线与两直线的夹角应为30，因此只有适合.8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案解析由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是，解得，故mn.三、解答题9.若直线l过点A(1，1)与已知
21、直线l1：2xy60相交于B点，且|AB|5，求直线l的方程.解过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.解方程组，求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|5，即x1为所求.设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组，得两直线交点为.(k2，否则与已知直线平行).则B点坐标为(，).由已知(1)2(1)252，解得k，y1(x1)，即3x4y10.综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10.10.已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程.解依题意知：kAC2，A(5,1)，lAC为2x
22、y110，联立lAC、lCM得C(4,3).设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，代入2xy50，得2x0y010，B(1，3)，kBC，直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y90.B组专项能力提升(时间：25分钟)1.(2013天津)已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a等于()A.B.1C.2D.答案C解析圆心为O(1,0)，由于P(2,2)在圆(x1)2y25上，P为切点，OP与P点处的切线垂直.kOP2，又点P处的切线与直线axy10垂直.akOP2，选C.2.已知直线l1：yxsin 和直线l2：y2xc，则直线l1与l2()A.通过平
23、移可以重合B.可能垂直C.可能与x轴围成等腰直角三角形D.通过绕l1上某一点旋转可以重合答案D解析l1的斜率sin 1,1，l2的斜率为2，积可能为1，即两直线可能垂直，斜率不可能相等，所以必相交，l1绕交点旋转可与l2重合.3.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为_.答案6解析以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，2)，C(b,3).ACAB，ab60，ab6，b.RtABC的面积S 6.4.点P(2,1)到直线l：mx
24、y30(mR)的最大距离是_.答案2解析直线l经过定点Q(0，3)，如图所示.由图知，当PQl时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|2，所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.5.(2013四川)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_.答案(2,4)解析设平面上任一点M，因为|MA|MC|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|MD|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|MC|MB|MD|最小，则点M为所求.又kAC2，直线AC的方程为y22(x1)，即2xy0.又kBD1，直线BD的方程为y5(x1)，即xy60.由得M(2,4).6.如图，函数f(x)x的定义域为(0，).设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线yx和y轴的垂线，垂足分别为M，N.(1)证明：|PM|PN|为定值；(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.(1)证明设P (x00).则|PN|x0，|PM|，因此|PM|PN|1.(2)解直线PM的方程为yx0(xx0)，即yx2x0.解方程组得xyx0，S四边形OMPNSNPOSOPM|PN|ON|PM|OM|x01，当且仅当x0，即x01时等号成立，因此四边形OMPN面积的最小值为1.