1、82.3倍角公式考点学习目标核心素养二倍角的正弦、余弦、正切公式会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式逻辑推理二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题数学运算、逻辑推理 问题导学预习教材P96P98，并思考以下问题：1在公式C，S和T中，若，公式还成立吗？2在上述公式中，若，能得出什么结论？倍角公式S2：sin 22sin_cos_ .C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2 .T2：tan 2名师点拨 正确理解二倍角公式(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，
2、如4是2的2倍，是的2倍这里蕴含着换元思想这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)10是5的倍角，5是的倍角()(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(3)存在角，使得sin 22sin 成立()(4)对于任意角，总有tan 2.()答案：(1)(2)(3)(4) 已知sin ，cos ，则sin 2等于()A.B.C.D.答案：D 计算12sin222.5的结果等于()A. B. C. D.答案：B 已知tan ，则tan 2_答案：利用二倍角公式化简、求值化简求值(1)cos4 sin4 ；(2)sincos
3、cos ；(3)12sin2750；(4)tan 150.【解】(1)cos4 sin4 cos .(2)原式cossin cos sin .(3)原式cos(2750)cos 1500cos(436060)cos 60.(4)原式.二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现主要形式有：2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos ，cos2sin2cos 2，tan 2.(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式主要形式有：1sin 2sin2 cos2 2sin cos (sin cos
4、 )2，1cos 22cos2 ，cos2 ，sin2 . 求下列各式的值：(1)sincos ；(2)2sin21；(3)cos 20cos 40cos 80.解：(1)原式.(2)原式22cos .(3)原式.利用二倍角公式解决条件求值问题(1)已知sin 3cos ，那么tan 2的值为()A2B2CD(2)已知cos ，sin ，是第三象限角，.求sin 2的值；求cos(2)的值【解】(1)选D.因为sin 3cos ，所以tan 3，所以tan 2.(2)因为是第三象限角，cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos 2.因为，sin ，所以cos ，cos 22cos2
5、121，所以cos(2)cos 2cos sin 2sin .直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sin (或cos )cos (或sin )sin 2(或cos 2)(2)sin (或cos )cos 212sin2(或2cos21)(3)sin (或cos ) tan tan 2. 1已知，sin ，则sin 2_，cos 2_，tan 2_解析：因为，sin ，所以cos ，所以sin 22sin cos 2，cos 212sin212，tan 2.答案：2已知sinsin，且，求tan 4 的值解：因为sinsincos，则已知条件可化为sincos，即sin，所以sin，所以cos
6、 2.因为，所以2(，2)，从而sin 2，所以tan 22，故tan 4.二倍角公式的综合应用求证：sin 2.【证明】法一：左边sincoscos sin cos sin 2右边所以原式成立法二：左边cos2cos2tan cos sin sin 2右边证明问题的原则及一般步骤(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的 1求证：cos2(AB)sin2(AB)cos 2A
7、cos 2B.证明：左边(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边，所以等式成立2求函数ysin4x2sin xcos xcos4x的最小正周期和最小值，并写出该函数在0，上的单调递减区间解：ysin4x2sin xcos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2sin xcos xcos 2xsin 2x22sin，所以T，ymin2.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以令k0，得函数的单调递减区间为.1(2019高考全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()
8、A.B.C. D.解析：选B.通解：依题意得4sin cos 2cos2，由，知cos 0，所以2sin cos .又sin2cos21，所以sin24sin21，即sin2.又，所以sin ，选B.优解：依题意得，即tan ，所以sin ，选B.2.的值为()A BC. D.解析：选D.原式cos2sin2cos .3已知tan ，则_解析：tan .答案：4求下列各式的值：(1)coscos ；(2)cos2.解：(1)原式.(2)原式cos.A基础达标1若sin cos ，则sin 2等于()A2B.C1 D1解析：选D.因为sin cos ，所以(sin cos )21sin 22，所
9、以sin 21.2.等于()Atan Btan 2C1 D.解析：选B.原式tan 2.3若，sin 2，则sin 等于()A. B.C. D.解析：选D.因为，所以2.所以cos 2，所以sin .4若sin xtan x0，则等于()A.cos x Bcos xC.sin x Dsin x解析：选B.因为sin xtan x0，所以x为第二、三象限角，所以cos xcos 即cos sin 0)，则A_，b_解析：因为2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x1sin，所以1sinAsin(x)b，所以A，b1.答案：19化简.解：原式1.10(1)已知sin cos ，求cos
10、2，tan 2的值；(2)已知sin sin ，求sin 2的值解：(1)因为(sin cos )2，所以12sin cos ，所以2sin cos sin 2，所以(sin cos )212sin cos 1.又0，cos 0，所以sin cos ，所以cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin )，所以tan 2.(2)因为sinsincos.所以sinsinsincossin sin cos 2，所以cos 2.又因为0，所以02，所以sin 2. B能力提升11已知tan x2，则tan等于()A.BC.D解析：选C.tantan.12已知，2，则sin_解析：22
11、sin cos 2sin cos 1sin 22sin22，因为，所以2(，2)，所以sin 2，所以sin cos 0，所以.所以sin.所以cos 2sin2sincos2，sin 2cos12cos212.所以coscos 2sin 2.14已知sin 2cos 0.(1)求tan x的值；(2)求的值解：(1)由sin 2cos 0，知cos 0，所以tan 2，所以tan x.(2)由(1)知tan x，所以. C拓展探究15已知函数f(x).(1)化简f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)若f()8，求cos 2；(3)求f(x)的单调递增区间解：(1)因为f(x)，所以最小正周期T2.(2)因为f()8，所以sin ，所以cos 212sin2.(3)设usin x，因为函数y在(，0)，(0，)上为减函数，所以要求f(x)的单调递增区间，即求usin x(xk，且x2k，kZ)的单调递减区间，所以f(x)的单调递增区间为(kZ)和(kZ)
