1、62.2向量的减法运算考点学习目标核心素养相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象 问题导学预习教材P11P12的内容，思考以下问题：1a的相反向量是什么？2向量减法的几何意义是什么？1相反向量(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量(2)结论(a)a，a(a)(a)a0；如果a与b互为相反向量，那么ab，ba，ab0名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量2向量的减法(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即aba(b)
2、求两个向量差的运算叫做向量的减法(2)作法：在平面内任取一点O，作a，b，则向量ab，如图所示(3)几何意义：ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量名师点拨 (1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可(3)对于任意两个向量a，b，都有|a|b|ab|a|b|. 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个相等向量之差等于0.()(2)两个相反向量之差等于0.()(3)两个向量的差仍是一个向量()(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算()答案：(1)(2)(3)(4) 在平行四边形ABCD中，下列
3、结论错误的是()A.0B.C. D.0答案：C 设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是()Aa与b的长度相等 BabCa与b一定不相等 Da是b的相反向量答案：C 在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为_答案：，向量的减法运算化简下列各式：(1)()()；(2).【解】(1)法一：原式()().法二：原式()0.(2)法一：原式.法二：原式().向量减法运算的常用方法 1下列四个式子中可以化简为的是()；.A B C D解析：选A.因为，所以正确，排除C，D；因为，所以正确，排除B.故选A.2化简下列向量表达式：(1)；(2)()()解：(1).(2)()()()0.向量的减法及其几何意
4、义如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.【解】法一：如图，在平面内任取一点O，作a，b，c，连接BC，则bc.过点A作AD綊BC，连接OD，则bc，所以abc.法二：如图，在平面内任取一点O，作a，b，连接OB，则ab，再作c，连接CB，则abc.法三：如图，在平面内任取一点O，作a，b，连接OB，则ab，再作c，连接OC，则abc.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量 如图，已知向量a，b，c，求作向量a
5、bc.解：在平面内任取一点O，作向量a，b，则向量ab，再作向量c，则向量abc.用已知向量表示其他向量如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且a，b，c，试用向量a，b，c表示向量，.【解】因为四边形ACDE是平行四边形，所以c，ba，故bac.用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则例如，在四边形ABCD中，0. 1如图，O为
6、平行四边形ABCD内一点，a，b，c，则_解析：因为，所以，所以abc.答案：abc2已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若a，b，c.试证明：abc.证明：如图，ac，b，所以acb，即abc.1在ABC中，D是BC边上的一点，则等于()A.B.C. D.解析：选C.在ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得.2化简：_解析：原式0.答案：3已知10，|7，则|的取值范围为_解析：因为，所以|.又|，3|17，所以3|17.答案：3，174若O是ABC所在平面内一点，且满足|，试判断ABC的形状解：因为，.又|，所以|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的
7、两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以ABAC，所以ABC是直角三角形A基础达标1在三角形ABC中，a，b，则()AabBbaCab Dab解析：选B.()ba.2若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A. B.C. D.解析：选B.故选B.3如图，在四边形ABCD中，设a，b，c，则()Aabc Bb(ac)Cabc Dbac解析：选A.abc.4给出下列各式：； ； .对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是()A4 B3C2 D1解析：选A.0；()0；0；0.5对于菱形ABCD，给出下列各式：；|；|；|.其中正确的个数为()A1 B2C3 D4
8、解析：选C.由菱形的图形，可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以正确，错误；因为|2|，|2|，且|，所以|，即正确；因为|，|，所以正确综上所述，正确的个数为3，故选C.6若a，b为相反向量，且|a|1，|b|1，则|ab|_，|ab|_解析：若a，b为相反向量，则ab0，所以|ab|0，又ab，所以|a|b|1，因为a与b共线，所以|ab|2.答案：027已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示)解析：如图，ba，ab.答案：baab8给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确命题的序号为_解析：因为，所以，正确；因为，所以，正确；因
9、为，所以，正确；因为，所以，正确答案：9.如图，已知a，b，c，d，f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).解：(1)ca.(2)da.(3)db.(4)bafc.(5)()fd.10如图所示，ABCD中，a，b.(1)用a，b表示，；(2)当a，b满足什么条件时，ab与ab所在直线互相垂直？解：(1)ba，ab.(2)由(1)知ab，ab.因为ab与ab所在直线垂直，所以ACBD.又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为菱形，所以|a|b|.所以当|a|b|时，ab与ab所在直线互相垂直B能力提升11给出下面四个结论：若线段ACABBC，
10、则向量；若向量，则线段ACABBC；若向量与共线，则线段ACABBC；若向量与反向共线，则|ABBC.其中正确的结论有_解析：由ACABBC得点B在线段AC上，则，正确三角形内，但ACABBC，错误，反向共线时，|，也即ACABBC，错误，反向共线时，|()|ABBC，正确答案：12已知|a，|b(ab)，|的取值范围是5，15，则a，b的值分别为_解析：因为ab|ab，所以解得答案：10513在ABC中，|1，则|_解析：如图，在ABD中，ABBD1，ABD120，.易求得AD，即|.所以|.答案：14如图所示，点O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使ab，cd，并画出bc和ad.解：因为ab，cd，所以a，b，c，d.如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可得，bc，ad.C拓展探究15已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，M是斜边AB的中点，a，b.求证：(1)|ab|a|；(2)|a(ab)|b|.证明：因为ABC是等腰直角三角形，ACB90，所以CACB.又M是斜边AB的中点，所以CMAMBM.(1)因为，又|，所以|ab|a|.(2)因为M是斜边AB的中点，所以，所以a(ab)()，因为|，所以|a(ab)|b|.
