1、余弦定理一、 教学目标知识与技能：在创设的问题情境中，引导学生发现并推证余弦定理，且能简单运用余弦定理解三角形。过程与方法：引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与思维能力，利用数形结合将几何问题转化为代数问题。情感态度价值观：调动学生学习的主观能动性，让学生体验成功的喜悦，从而培养学生学习数学的兴趣和勇于创新的精神。二、 教学重难点重点: 探究和证明余弦定理的过程；理解和掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。难点: 理解勾股定理和余弦定理之间的特殊关系，并证明余弦定理；对余弦定理的应用。三、 教学过程（一）情境引入 钓鱼岛，亦称钓鱼台，是中国
2、东海钓鱼岛及其附属岛屿的主岛，是我国固有领土，2012年9月10日央视新闻报道，中国有关部门将对钓鱼岛及其附属岛屿展开常态化监视监测。据悉，一艘舰艇在图（1）中B处前往钓鱼岛巡航检测，已知 BC、AC距离分别为30和40km，求AB距离。Abac=?BC图1 在行驶一段时间后，舰艇到达如图（2）位置，已知BC、AC距离分别为20和40km，C=120，求AB距离。ACB?ab图2【设计意图】通过钓鱼岛的背景介绍情境引入，由舰艇的航行探索在直角三角形和钝角三角形中已知两边及夹角求第三边的问题，继而发现问题。（二）化归问题上述问题可抽象概括为在三角形中已知两边及夹角求第三边，如下图所示：Abac=
3、?BC在直角三角形中，已知边a，b和直角C，你如何求出边c？ACB?ab CAB?ab我们由特殊到一般，在钝角和锐角三角形中，已知边a，b和夹角C，如何求边c？根据三角形三边关系，并类比勾股定理，你能得出有关边c的哪些结论？【设计意图】教师提问引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般猜想出余弦定理的大致形式，培养学生的创新意识和观察与思维能力。（三）分析问题根据猜想，思考以下几个问题：思考1：结合解三角形的知识以及m的范围，你能猜想到m可能是什么？思考2：由直角三角形的勾股定理，你能猜想到m是哪种三角函数值？思考3：最终的猜想是什么？该如何证明？【设计意图】通过几个思考题引导学生明确猜想中m
4、的形式，即夹角余弦值，猜想出余弦定理的形式，锻炼学生对知识的灵活应用能力，也为定理的证明埋下铺垫。（四）证明猜想观察公式，既有边又有角，你能想到哪些方法证明公式？根据大家的思路，公式的证明主要有两种方法，“几何法”和“向量法”，接下来我们一起看看向量法证明公式。如图在三角形ABC中同理可得：上述公式又叫“余弦定理”，是解三角形的另一个重要公式。【设计意图】引导学生思考公式的证明方法，明确余弦定理是勾股定理的一般形式；并带着学生一起感受向量法对余弦定理的证明，体会向量的工具作用，锻炼学生对向量的灵活应用能力。（五）探究定理余弦定理： 思考：余弦定理能求解哪些类型的三角形问题？余弦定理如何变形来求内角？ 定理变形：【设计意图】通过思考题引导学生思考余弦定理如何应用，并会对定理变形使用，为定理应用作好准备。（六）定理应用【设计意图】第一道题是对公式的直接应用，第二道题是对公式的变形使用，两道题目加深学生印象，提高对公式的熟练应用能力，为下节课的深入练习打基础。（七）课堂小结请同学们结合自己的理解从“知识”、“能力”、“思想”三方面对本节课进行小结。【设计意图】通过学生的思考，分别从“知识”、“能力”、“思想”三方面进行小结，教师补充，帮助学生实现三个教学目标上的提升。（八）课堂作业课后练习 1、2
